Inhalt

 
• Klassifizierung partieller Differentialgleichungen (PDG)
  • Lineare und nichtlineare PDG
  • Physikalische Klassifizierung
  • Mathematische Klassifizierung PDG
  • Anfangs- und Randbedingungen
  • Formulierungsmethoden
• Finite Differenzenmethoden
  • Herleitung finiter Differenzenformeln
    • Taylorreihenentwicklung
    • Polynomgestützte Methoden
    • Nichtäquidistante Gitter
  • Gemischte partielle Ableitungen
• Zeitapproximation - parabolische Diffentialgleichungen
  • Explizite und implizite Differenzenformeln
  • Stabilität
    • Behandlung von diskreten Störungen
    • Matrizenkriterium
    • Fourier-Neumann Kriterium
  • Modifizierte Gleichungen
  • Differenzenformeln zur Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung
    • Explizite Formulierungen
      • Forward-time-central-space Methode.
      • Richardson Methode.
      • DuFort-Frankel Methode.
    • Implizite Methoden
      • Laasonen (BTCS) Methode.
      • Crank-Nicolson Methode.
      • Verallgemeinerte Formulierung.
  • Konsistenz und Konvergenz
    • Konsistenz bei Konvektionsproblemen
    • Konsistenz der finiten Differenzengleichungen
  • Approximation zweidimensionaler parabolischer DGL
    • ADI-Methode
    • Fractional Step Method
  • Erweiterung auf dreidimensionale Probleme
  • Einbau von Randbedingungen
    • Dirichlet Randbedingung
    • Neumann Randbedingung
    • Robinbedingung
    • Zyklische oder periodische Randbedingung
  • Linearisierung parabolischer PDG
• Anwendungsbeispiele
  • Eindimensionale Wärmeleitung
  • Anwendung auf Navier-Stokes Gleichung
• Behandlung linearer Gleichungssysteme
  • LU-Zerlegung von tridiagonalen Matrizen
  • Iterative Methoden
    • Die Jacobische Iterationsmethode
    • Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren
    • Konvergenzbedingung
    • Linien-Gauß-Seidel Verfahren
    • Sukzessive Relaxationsverfahren
    • Die implizite Methode der alternierenden Richtungen
    • Konvergenzkriterium
    • Analytische Betrachtung der systematischen Iterationsmethoden
    • Bemerkungen zum Konditionsproblem
  • Die Methode der konjugierten Gradienten
  • Methode der Fourierreihen
  • Mehrgitterverfahren
    • Mehrgitterprinzip
    • Zweigitterbeschleunigungsverfahren
    • Mehrgitterverfahren mit V- und W-Zyklus
    • Full multigrid (FMG) Algorithmus
    • Restriktions- und Prolongationsoperator
    • Rechenablauf des Mehrgitterverfahrens
• Numerische Gittergenerierung
  • Koordinatentransformation
    • Metrikkomponenten und Jakobideterminante
  • Derivativa des Rechengebiets
  • Grundklassen von Rechengittern
  • Anforderungen des numerischen Verfahrens an das Rechengitter
  • Mathematische Modellierung von Kurven und Flächen im Raum
    • Die Lagrangesche und Hermitesche Interpolation von Kurven
    • Die Splinefunktion und ihre Anwendung in der Kurveninterpolation
    • Kubische Splinefunktion
    • Parameter-Spline-Interpolation
    • Der kubische Bézier-Spline zur Approximation von Kurven
    • Die Erzeugung von Flächen im 3D-Raum
  • Die Punkteverteilung
    • Verteilung auf einer Kurve
    • Punkteverteilung auf der Fläche
  • Das strukturierte Gitter
    • ''Computational domain'' und ''physical domain'' der Grundgittertypen
    • Algebraische Gittergenerierung mit der Transfiniten Interpolation
  • Numerische Gittergenerierung mit dem ''elliptischen Gittergenerator''
    • Die Grundgleichung des elliptischen Gittergenerators
    • Bestimmung der Kontrollfunktion
    • Lösungsverfahren der elliptischen DGL.
  • Das dynamisch adaptive Gitter
• Literaturliste
• Literatur