LU-Zerlegung von tridiagonalen Matrizen

Zur Lösung von tridiagonalen Matrizen, wie sie beispielsweise bei der Behandlung eindimensionaler Wärmeleitungsprobleme auftreten, bietet sich ein einfacher direkter Löser an: die LU-Zerlegung. Wegen der Relevanz dieses Verfahrens für iterative Methoden soll die LU-Zerlegung hier näher erläutert werden.

• Für ein System von Differentialgleichungen läßt sich durch die Approximation ein block-tridiagonales Gleichungssystem für die Unbekannte $X\; =\; X\; (T,c)$ in der allgemeinen Form aufstellen. $R$ ist die rechte Seite.

  

  Die Matrix $S$ wird in eine obere und eine untere Teilmatrix zerlegt:

  

  mit den Koeffizienten,

  

• Zu lösen ist jetzt das System

  

  mit

  

  Außerdem erhält man

  

  woraus sich die Lösung ergibt: