Punkteverteilung auf der Fläche

Die Verteilung von Punkten auf einer Fläche oder, mit anderen Worten, die Bestimmung der Flächenparameter $$(GI_i,GJ_j) und $$(GI_i,GJ_j) (mit $GI$_i und $GJ$_j bezeichnen wir die Laufindizes der zu verteilenden Punkte), wird meistens in zwei Arbeitsschritten durchgeführt.

Im ersten Schritt legt man eine Linienschar in einer Richtung fest. Dabei ist es notwendig, zunächst die normierte resultierende Sekantenlänge in einer der beiden Richtungen der Flächenparameter (o. B. d. A. $s$₁ in $$-Richtung) für alle Stützpunkte $P(SI$_i,SJ'_j) entlang ausgewählter $SJ\text{'}$_j-Kurven zu berechnen ($SI$_i,SJ_j: Laufindizes der Stützpunkte; ausgewählter Index mit '):

Damit steht die Abbildungsvorschrift von $s$₁ und $$ auf solchen Kurven fest.

Unabhängig davon generiert man die Verteilungsfunktion $s$₁(GI_i,SJ'_j) für die gewählten $SJ\text{'}$_j-Kurven nach vorgegebenen Anforderungen (z.B.: die Randkurven $SJ$₁ und $SJ$_n ). Die entsprechende abgebildete Verteilung des Kurvenparameters $$(GI_i,SJ'_j) wird dann auf den gesamten $$-Bereich interpoliert (hier ist eine glatte Interpolation notwendig). Damit stehen alle Kurven $GI$_i mit dem Kurvenparameter $$(GI_i, ) fest.

Abbildung 68: Punkteverteilung auf Flächen, erster Schritt

Im zweiten Schritt werden die Punkte auf den festgelegten $GI$_i-Kurven verteilt.

Hier ist zunächst die Berechnung der normierten resultierenden Sekantenlänge $s$₂(SI'_i,SJ_j) in der $$-Richtung für bestimmte $SI\text{'}$_i-Kurven notwendig, damit die $s$₂(GI'_i,SJ_j) für die gewählten $GI\text{'}$_i-Kurven daraus linear interpoliert werden können. Die Abbildungsvorschriften von $s$₂ und $$ der $GI\text{'}$_i-Kurven werden wiederum durch lineare Interpolation bestimmt.

Genauso wie beim ersten Schritt wird parallel dazu die Verteilungsfunktion $s$₂ (GI'_i,GJ_j) für die gewählten $GI\text{'}$_i-Kurven nach den vorgegebenen Anforderungen generiert und der entsprechende Kurvenparameter $$(GI'_i,GJ_j) durch lineare Abbildung gewonnen. Im nächsten Schritt wird dann $$(GI'_i,GJ_j) auf den gesamten $GI$_i-Bereich interpoliert.

Den Kurvenparameter $$(GI_i,GJ_j) kann schließlich aus der Interpolationsgleichung $$(GI_i,) mit $$= (GI_i,GJ_j) bestimmt werden.

Abbildung 69: Punkteverteilung auf Flächen, zweiter Schritt

Damit sind die Flächenparameter $$(GI_i,GJ_j) und $$(GI_i,GJ_j) festgelegt und die Ortsvektoren der verteilten Punkte können berechnet werden.