Das in der Folge beschriebene Verfahren besteht im wesentlichen darin, die finiten Differenzengleichungen durch Matrizen auszudrücken und dann die Eigenwerte einer assoziierten Matrix zu uöntersuchen.
Wir betrachten die Gleichung
mit bei und 1 sowie bekannten Anfangstemperaturen für . Die explizite FTCS Formulierung (3.6) lautet in Matrix-Vektor Schreibweise kurz
(3.17) |
Hiermit lassen sich die Temperaturen zu einer beliebigen Zeitlinie auf die bekannten Anfangstemperaturen zurückführen
Die endlichen Differenzenformeln unterscheiden nicht zwischen akuraten und rundungsfehler-behafteten Werten. Fassen wir die anfängliche Störungsverteilung in einen Vektor zusammen, dann summieren sich die tatsächlichen Anfangswerte und weiter bzw. Die endliche Differenzenformel ist dann stabil, wenn der Fehler auch für beschränkt bleibt. Diese Stabilität läßt sich untersuchen, wenn man den Fehlervektor durch die Eigenvektoren von ausdrückt. Angenommen die symmetrische Matrix verfügt über paarweise verschiedene Eigenwerte , dann sind die dazugehörigen Eigenvektoren linear unabhängig. Der Fehlervektor ergibt sich durch Linearkombinationen der Eigenvektoren von zu
(3.18) |
Für den Vektor der induzierten Fehler auf einer Zeitlinie notieren wir
(3.19) |
was besagt, daß die Fehler mit nicht exponentiell anwachsen, sobald kein Eigenwert dem Betrag nach größer 1 ist.
Zunächst noch eine Bemerkung über die Eigenwerte einer gewöhnlichen tridiagonalen Matrix
wobei und reel und von gleichem Vorzeichen sein wollen. Die Eigenwerte lauten in diesem Fall
(3.20) |
Zerlegen wir die Matrix für die FTCS Formulierung aus Gleichung (3.17) in zwei Teilmatrizen
kurz . Damit erleichtert sich die Suche nach den Eigenwerten
(3.21) |
Das explizite Verfahren ist stabil für
bzw.
(3.22) |
Für die implizite BTCS Formulierung
kurz oder ergibt sich die zu (3.19) analoge Beziehung bzw. mit Die Eigenwerte von lauten
(3.23) |
Sie sind in jedem Falle betragsmäßig kleiner eins, weshalb das implizite Verfahren generell stabil ist.