ADI-Methode

 

Die Lösung des aus der BTCS-Approximation resultierenden pentadiagonalen Gleichungssystems ist sehr aufwendig. Stattdessen soll die ADI -Methode (alternating direction implicit) verwendet werden. Dieses Verfahren umgeht die mit direkten Verfahren verbundene Ineffizienz durch Aufsplitten der Zeitdiskretisierung in zwei Einzelschritte, die sich als tridiagonale Gleichungssysteme sehr effizient lösen lassen.

 

Abbildung 32: Schematische Darstellung der ADI-Methode

(3.58)

Diese Gleichungen können in tridiagonaler Form mit $d$₁=d_x/2=t/x² und $d$₂=d_y/2=t/y² geschrieben werden als:

und

Anstelle eines pentadiagonalen Gleichungssystems wird jeder Zeitschritt in zwei Teilzeitschritten (Sweeps) jeweils in Form eines wesentlich günstigeren tridiagonalen Gleichungssystems gelöst. Auf dieses Weise kann der numerische Aufwand erheblich vermindert werden. Die zweidimensionale ADI-Methode verhält sich dabei immer stabil.