Anfangs- und Randbedingungen

 

Bei der Integration partieller Dgl. fallen (ähnlich den Integrationskonstanten für gewöhnliche Dgl.) Funktionen an. Eine geschlossene Lösung erhält man nur sofern diese durch zusätzliche Bedingungen bestimmbar werden. Hierbei unterscheidet man zwischen Anfangs- und Randbedingungen.

Anfangsbedingungen

sind Vorschriften an den Wert der abhängigen Variablen im Ausgangszustand.

Randbedingungen

sind Vorschriften an den Wert der abhängigen Variablen oder ihrer Ableitung auf dem Bereichsrand.

Folgende Randbedingungen sind namentlich bekannt:

1. Dirichletbindung:
Der Wert der anhängingen Variablen ist entlang des Bereichsrandes gegeben.
2. Neumannbindung:
Die Normalenableitung der unabhängigen Variablen $$ entlang des Randes ist vorgegeben.
3. Gemischte (Cauchy-)
Randbedingungen:
An einem Teil der Berandung sind Dirichletrandbedingungen gegeben, an einem anderen Neumannbedingungen.
4. Robinbedingung:
Hiermit sind Linearkombinationen von Dirichlet- und Neumannbedingungen gemeint.

Achtung: Reine Gradientenbedingungen können das Problem nicht eindeutig lösen, da das Niveau nicht festgelegt ist.