Grundklassen von Rechengittern

Prinzipiell unterscheidet man zwei Klassen von Rechengittern. In der ersten Klasse, den strukturierten Gittern (Abb. 56), werden die Raumpunkte in direkter Weise auf die Elemente einer Matrix abgebildet (Abb. 57), so daß benachbarte Punkte im physikalischen Raum auch benachbarte Elemente in der Punktematrix sind. Der Vorteil dieser Anordnung liegt in der schnellen Implementierung und Abarbeitung auf einem Rechner und erlaubt die Benutzung von richtungsorientierten Lösungsverfahren, wie z.B. das ADI-Verfahren oder das Linien-Gauß-Seidel-Verfahren usw...

Abbildung 56: Grundtypen strukturierter Gitter (von links nach rechts: C-Gitter, O-Gitter, H-Gitter)

Abbildung 57: Abbildung eines strukturierten Gitters vom physikalischen Gebiet auf eine Matrix

Demgegenüber benötigt ein unstrukturiertes Gitter (Abb. 58) das Mitführen einer sog. ''connectivity matrix'', in der die Verbindung eines jeden Punktes zu seinen jeweiligen Nachbarpunkten explizit festgelegt wird. Der Vorteil der unstrukturierten Gitter liegt darin, daß einerseits komplexe Geometrien sehr leicht modelliert werden können und andererseits in Bereichen starker Gradienten der Approximationsfehler durch einfaches lokales Hinzufügen von Punkten reduziert werden kann. Durch das Fehlen einer globalen Struktur und das damit verbundene ständige Zugreifen auf die ''connectivity matrix'' während des Lösungsprozesses kann dieser jedoch erheblich verlangsamt werden, was wiederum zu höheren Rechenzeiten führt.

Abbildung 58: Unstrukturiertes Gitter und dessen ''connectivity matrix''

Eine Vorgehensweise, die mittlerweile weitestgehend etabliert ist, und die die Vorteile beider Gitternetztypen in sich vereinigt, ist die Multi-Block-Methode (das blockstrukturierte Gitter). Dabei wird zunächst eine komplexe Geometrie in angemessene Blöcke aufgeteilt, die untereinander durchaus unstrukturiert vorliegen können (Abb. 59). Im Inneren eines jeden Blockes wird anschließend ein strukturiertes Gitternetz erzeugt.

Abbildung 59: Blockstrukturiertes Gitter

Eine andere Möglichkeit, komplexe Geometrien auf vergleichsweise einfache Art zu vernetzen, stellen überlappende Gitter, sog. Chimera Gitter dar. Hier werden voneinander unabhängige Teilgitter erstellt, die sich gegenseitig überlappen. Ein Beispiel ist in Abbildung 60 gezeigt. Insbesondere bei der Vernetzung von Mehrkörperproblemen bietet dieses Verfahren Vorteile, weil für jeden Einzelkörper ein optimal angepaßtes Gitter aus einem oder mehreren Blöcken erstellt und diese dann mit Hilfe der Chimeratechnik verbunden werden können.

Abbildung 60: Überlappendes Gitter (Chimera)

Überlappende Gitter sind einfach zu erzeugen, erfordern jedoch aufwendige Interpolationen im Verfahren zur Lösung der strömungsmechanischen Grundgleichungen. Des weiteren stellt sich die Frage, inwiefern auf Grund der Interpolationen bei steilen Gradienten Genauigkeitsverluste auftreten. Wichtig ist in diesem Zusammenhang vor allem sicherzustellen, daß das Interpolationsverfahren konservativ ist, d.h. globale Erhaltung von Masse, Energie, usw. auch im überlappenden Bereich sichergestellt ist.