Fourier-Neumann Kriterium

Die Methode drückt eine zu Beginn vorhandene Fehlerzeile durch eine endliche Fourierreihe aus und verfolgt mittels der bekannten Methode der Trennung der Variablen das Anwachsen einer Funktion, die sich für $t\; =\; 0$ auf diese Reihe reduziert.

Die Fourierreihe kann mit Sinus- und Cosinus-Gliedern aufgebaut werden, wird jedoch aus rechentechnischen Gründen in exponentieller Schreibweise notiert. Man ersetzt und durch das äquivalente , wobei der Definitionsbereich der Funktion ist.

Wir bezeichnen die Fehler in den Gitterpunkten auf $t\; =\; 0$ zwischen $x\; =\; 0$ und $l\; =\; Nh$ mit $E(ih)$. Die $N+1$ Gleichungen

(3.24)

genügen zur eindeutigen Bestimmung der $N\; +\; 1$ unbekannten Koeffizienten $A$₀ ... A_N und zeigen, daß sich eine beliebige Verteilung der Anfangsfehler in dieser komplexen Form darstellen läßt. Da die finiten Differenzenformulierungen der zu untersuchenden PDG stets linear sein werden, lassen sich sämtliche Lösungen (auch die Fehlerbehafteten) überlagern. Wir betrachten daher in der Folge lediglich einen einzigen, jedoch beliebigen Term der Reihe (3.24), um an diesem zu untersuchen, unter welchen Voraussetzungen er zeitlich nicht wächst. Wenn wir tatsächlich keinerlei Einschränkungen bezüglich $n$ machen, so wird auch die Überlagerung mehrerer beliebiger Terme aus (3.24) zeitlich beschränkt bleiben. Um die Ausbreitung dieses Fehlers mit wachsendem $t$ zu untersuchen, müssen wir zunächst eine Lösung der endlichen Differenzengleichung finden, die sich für reduziert. Wir machen den Separationsansatz

(3.25)

mit der im allgemeinen Konstanten $\alpha$. Der Fehler wächst offensichtlich nicht mit $t$, wenn |$$| < 1 ist.

Hierzu betrachten wir erneut die FTCS Diskretisierung (3.5) der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung

Da die Fehlerfunktion $E$ dieselben Beziehungen wie die abhängige Variable erfüllt, notieren wir

Die Division durch führt auf

was man unter Verwendung von auf

Die stabile Lösung zeichnet sich durch die für beliebige Phasenwinkel $$= gültige Beziehung

aus. Hieraus ergibt sich erneut die Stabilitätsbedingung

Die Ergebnisse einer derartigen Stabilitätsuntersuchung werden häufig in Form einer Grafik für die Kurvenschar $G($) mit dem Scharparameter $d$ wiedergegeben. Alternativ findet man Darstellungen auf der Basis von kartesischen- und Polarkoordinaten.

 

Abbildung 26: Vergrößerungsfaktor der FTCS Diskretisierung (3.5) a) Polarkoordinaten, b) kartesische Koordinaten.  

Für die implizite BTCS Formulierung (3.7) berechnet sich der Vergrößerungsfaktor gemäß

Die Division durch führt auf die Gleichung

und somit zu

Die Stabilitätsbedingung $|G|$< 1 ist hierbei für alle positiven Werte von $d$ erfüllt, weshalb man $G$ in diesem Falle als Dämpfungs- oder Abklingfaktor deuten kann.

Ein weiteres Kriterium zur Beurteilung der (stabilen) Diskretisation einer partiellen Differentialgleichung ergibt sich aus dem Vergleich ihres Dämpfungsverhaltens mit dem Dämpfungsverhalten der Ausgangsgleichung. Den Abklingfaktor des kontinuierlich gestellten Problems berechnet man wie folgt:

Zunächst ist die im Separationsansatz (3.25)

auftretende Konstante $\alpha$ zu bestimmen. Eine Befriedigung der Ausgangsgleichung (3.4) durch den Ansatz (3.25) verlangt

also

Der exakte Abklingfaktor berechnet sich hiermit aus

(3.26)

bzw. mit zu

Abbildung 27 veranschaulicht den Vergleich zweier stabiler FTCS Formulierungen mit den entsprechenden exakten Resultaten. Hierbei stellt man fest, daß sich für explizite Formulierungen eine Verringerung von $d$ günstig auf Stabilität und Dämpfungsähnlichkeit auswirkt. Für wachsende $d$ zeigt die explizite Formulierung eine ausgeprägte Dämpfungs- oder Dissipationseigenschaft.  

Abbildung 27: Vergleich der Dämpfungsfaktoren.