Die Methode drückt eine zu Beginn vorhandene Fehlerzeile durch eine endliche Fourierreihe aus und verfolgt mittels der bekannten Methode der Trennung der Variablen das Anwachsen einer Funktion, die sich für auf diese Reihe reduziert.
Die Fourierreihe kann mit Sinus- und Cosinus-Gliedern aufgebaut werden, wird jedoch aus rechentechnischen Gründen in exponentieller Schreibweise notiert. Man ersetzt und durch das äquivalente , wobei der Definitionsbereich der Funktion ist.
Wir bezeichnen die Fehler in den Gitterpunkten auf zwischen und mit . Die Gleichungen
(3.24) |
genügen zur eindeutigen Bestimmung der unbekannten Koeffizienten und zeigen, daß sich eine beliebige Verteilung der Anfangsfehler in dieser komplexen Form darstellen läßt. Da die finiten Differenzenformulierungen der zu untersuchenden PDG stets linear sein werden, lassen sich sämtliche Lösungen (auch die Fehlerbehafteten) überlagern. Wir betrachten daher in der Folge lediglich einen einzigen, jedoch beliebigen Term der Reihe (3.24), um an diesem zu untersuchen, unter welchen Voraussetzungen er zeitlich nicht wächst. Wenn wir tatsächlich keinerlei Einschränkungen bezüglich machen, so wird auch die Überlagerung mehrerer beliebiger Terme aus (3.24) zeitlich beschränkt bleiben. Um die Ausbreitung dieses Fehlers mit wachsendem zu untersuchen, müssen wir zunächst eine Lösung der endlichen Differenzengleichung finden, die sich für reduziert. Wir machen den Separationsansatz
(3.25) |
mit der im allgemeinen Konstanten . Der Fehler wächst offensichtlich nicht mit , wenn || < 1 ist.
Hierzu betrachten wir erneut die FTCS Diskretisierung (3.5) der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung
Da die Fehlerfunktion dieselben Beziehungen wie die abhängige Variable erfüllt, notieren wir Die Division durch führt auf was man unter Verwendung von auf Die stabile Lösung zeichnet sich durch die für beliebige Phasenwinkel gültige Beziehung aus. Hieraus ergibt sich erneut die Stabilitätsbedingung Die Ergebnisse einer derartigen Stabilitätsuntersuchung werden häufig in Form einer Grafik für die Kurvenschar mit dem Scharparameter wiedergegeben. Alternativ findet man Darstellungen auf der Basis von kartesischen- und Polarkoordinaten.Für die implizite BTCS Formulierung (3.7) berechnet sich der Vergrößerungsfaktor gemäß
Die Division durch führt auf die Gleichung und somit zu Die Stabilitätsbedingung ist hierbei für alle positiven Werte von erfüllt, weshalb man in diesem Falle als Dämpfungs- oder Abklingfaktor deuten kann.Ein weiteres Kriterium zur Beurteilung der (stabilen) Diskretisation einer partiellen Differentialgleichung ergibt sich aus dem Vergleich ihres Dämpfungsverhaltens mit dem Dämpfungsverhalten der Ausgangsgleichung. Den Abklingfaktor des kontinuierlich gestellten Problems berechnet man wie folgt:
Zunächst ist die im Separationsansatz (3.25)
auftretende Konstante zu bestimmen. Eine Befriedigung der Ausgangsgleichung (3.4) durch den Ansatz (3.25) verlangt also Der exakte Abklingfaktor berechnet sich hiermit aus
(3.26) |
bzw. mit zu
Abbildung 27 veranschaulicht den Vergleich zweier stabiler FTCS Formulierungen mit den entsprechenden exakten Resultaten. Hierbei stellt man fest, daß sich für explizite Formulierungen eine Verringerung von günstig auf Stabilität und Dämpfungsähnlichkeit auswirkt. Für wachsende zeigt die explizite Formulierung eine ausgeprägte Dämpfungs- oder Dissipationseigenschaft.