Dirichlet Randbedingung

Wird die abhängige Variable auf dem Rand direkt vorgegeben, liegt eine ''Dirichlet Randbedingung'' vor. Sie tritt vor allem an Einströmrändern und festen Wänden auf. Explizite oder implizite Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung führt auf die Lösung $T$_i^m. Die vorgegebenen Randwerte lauten:

(3.61)

Explizite Verfahren erlauben die diskrete Berechnung der unbekannten Temperaturverteilung $T$_i^m+1 an den Gitterpunkten. Im Fall einer Dirichlet Randbedingung wird diese Prozedur ausgesetzt und stattdessen direkt der Randwert vorgegeben:

(3.62)

Implizite Verfahren führen auf algebraische Gleichungssysteme für die Temperaturverteilung. Die Randbedingung muß deshalb in das Gleichungssystem eingearbeitet werden. Die algebraischen Gleichungen an allen inneren Punkten lauten für das BTCS (3.7):

(3.63)

Die Randbedingung kann nun auf zwei verschiedene Arten implementiert werden:

Methode I:
An den Randpunkten werden sehr einfache Gleichungen generiert, die die Einhaltung der Randbedingungen sicherstellen:

oder in Matrixschreibweise:

$C$_L und $C$_R sind hier beliebige Konstanten, in der Regel wird $C$_L = C_R = 1 gesetzt.
Methode II:
Der Vektor der unbekannten Temperaturen wird um die beiden Randpunkte reduziert auf und die Randbedingung auf der rechten Seite eingebracht: