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Mehrgitterprinzip

Betrachten wir eine beliebige Gleichung, fortan bezeichnet mit

(5.82)

Dabei stellt einen Operator dar, der alle funktionalen Zusammenhänge der Unbekannten repräsentiert und die von unabhangige rechte Seite der Gleichung. Eine finite Approximation der Gleichung für sämtliche diskretisierten Punkte führt zu einem Gleichssystem

(5.83)

das normalerweise iterativ gelöst wird. Bei einer linearen Gleichung ist L von unabhängig. Man erhält nach einigen Iterationszyklen eine Näherungslösung , für die die Gleichung bis auf ein Residuum R erfüllt ist:

(5.84)

Zur Verbesserung der Lösung muß um eine Korrektur ergänzt werden, mit der die Gleichung exakt erfüllt wird:

(5.85)

Die Bestimmungsgleichung für die Korrektur erhält man durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen:

(5.86)

wobei sich die Bestimmungsgleichung für vereinfacht, wenn L ein linearer Operator ist:

(5.87)

Das Grundelement eines Mehrgitterverfahrens ist das sogenannte Zweigitterbeschleunigungsverfahren. Dabei wird nach einigen Feingitteriterationen die Korrektur auf einem Grobgitter, dessen Maschenweite gegenüber dem Feingitter verdoppelt wird, bestimmt. Der niederfrequente Fehleranteil kann dadurch schneller reduziert werden. Danach erfolgen einige Nachiterationen auf dem Feingitter.


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Benjamin Gilde
Sat Dec 16 15:24:45 CET 2000