Zeitapproximation - parabolische Diffentialgleichungen

 

Die Diskussion unterschiedlicher zeitlicher Approximationsverfahren soll am Beispiel der Wärmeleitung erfolgen. Die Bilanzgleichung der (ebenen) Wärmeleitung leitet sich aus dem (auf thermisch-mechanische Umsetzungen beschränkten) Energiesatz

ab. Hiernach wird der an einem Körper (in Form von mechanischer Arbeit $A$_a und zugeführter Wärmemenge $Q$_a) geleistete (äußere) Energieaufwand sofern er nicht zur Veränderung seiner kinetischen Energie $E$ dient in Form von innerer Energie $U$ gespeichert. Wir vereinfachen diese Bilanz, indem wir versuchen `mechanisches' und `thermisches' Gleichgewicht zu entkoppeln. Beschränkt man sich auf die Betrachtung eines idealen , inkompressiblen Fluids, verschwinden ähnlich wie bei einem starren Körper alle Spannungsleistungen , weswegen der Arbeitsansatz der Mechanik die Identität

liefert. In diesem Falle ist die gesonderte Betrachtung des thermischen Gleichgewichts

(3.1)

möglich. Die in der Zeiteinheit zugeführte Wärmemenge sei ausschließlich leistungsbedingt

so daß wir anstelle (3.1) die massenspezifische Bilanz

(3.2)

erhalten. Berücksichtigt man den Zusammenhang

dann tritt in (3.2) unter Verwendung der kapazitiven Konstante $c$ und des Fourierschen Materialgesetzes nur noch eine abhängige Variable $(T)$ auf, und man erhält

(3.3)

Die partielle Differentialgleichung (3.3) ist elliptisch in Raum und parabolisch in der Zeit. Wir wenden uns nun einem einfachen Beispiel, der Temperaturverteilung in einem dünnen gleichförmigen Stab, dessen Schwerachse mit der Raumkoordinate $x$ zusammenfallen möge, zu. Zusätzlich setzen wir voraus, daß der Stab an seinem Mantel wärmeisoliert ist, also die Temperaturveränderungen durch Wärmeleitung in Längenrichtung und durch Wärmeübertragung an den Enden eintreten. Das Problem wird durch die partielle Differentialgleichung

(3.4)

beschrieben.

 
• Explizite und implizite Differenzenformeln
• Stabilität
  • Behandlung von diskreten Störungen
  • Matrizenkriterium
  • Fourier-Neumann Kriterium
• Modifizierte Gleichungen
• Differenzenformeln zur Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung
  • Explizite Formulierungen
    • Forward-time-central-space Methode.
    • Richardson Methode.
    • DuFort-Frankel Methode.
  • Implizite Methoden
    • Laasonen (BTCS) Methode.
    • Crank-Nicolson Methode.
    • Verallgemeinerte Formulierung.
• Konsistenz und Konvergenz
  • Konsistenz bei Konvektionsproblemen
  • Konsistenz der finiten Differenzengleichungen
• Approximation zweidimensionaler parabolischer DGL
  • ADI-Methode
  • Fractional Step Method
• Erweiterung auf dreidimensionale Probleme
• Einbau von Randbedingungen
  • Dirichlet Randbedingung
  • Neumann Randbedingung
  • Robinbedingung
  • Zyklische oder periodische Randbedingung
• Linearisierung parabolischer PDG