Neumann Randbedingung

Wird nicht der Wert sondern eine örtliche Ableitleitung normal zur Berandung vorgegeben, liegt eine Neumann Randbedingung vor. Dies ist z.B. bei der Vorgabe des Randwärmeflusses der Fall:

(3.64)

An einer adiabatischen Wand gilt hier $q$_w = 0. Neumann Randbedingungen werden außerdem an Symmetrie- und Ausflußrändern verwendet. Im folgenden sollen an beiden Rändern Neumann Randbedingungen herrschen mit

(3.65)

Der Ableitungsterm muß diskretisiert werden. Hier sollen Diskretisierungen erster und zweiter Ordnung für äquidistante Gitter am linken Rand betrachtet werden:

Erster Ordnung:

(3.66)

Zweiter Ordnung:

(3.67)

Dabei stellt $T$₀ die Temperatur an einem fiktiven Punkt außerhalb des Rechengebiets dar, der sich gleich weit von $i=1$ befindet wie die Stelle $i=2$.

Bei der Realisierung der Randbedingung ist es sehr wichtig, mindestens die gleiche Approximationsordnung zu verwenden, wie im Rest des Rechengebietes.

Bei expliziten Verfahren ergibt sich die Bestimmungsgleichung für einen neuen unbekannten Wert $T$_i^m+1. Am linken Randpunkt ($i=1$) lautet sie bei FTCS-Methode (3.6):

(3.68)

Der hier auftretende unbekannte Wert $T$₀^m wird nun mit Hilfe einer der Diskretisierungsgleichungen (3.66) oder (3.67) bestimmt:

(3.69)

Auch für implizite Verfahren läßt sich die Diskretisierungsgleichung direkt für den Randpunkt formulieren. BTCS (3.63) liefert am linken Rand:

(3.70)

Die Randbedingung kann nun wiederum auf zwei verschiedene Arten implementiert werden, wobei entweder die Approximation erster oder zweiter Ordnung (3.69) zur Bestimmung von $T$₀ verwendet wird. Die Gleichungssysteme werden für Neumann Bedingungen am linken und rechten Rand angegeben:

Erster Ordnung:

Zweiter Ordnung: