Metrikkomponenten und Jakobideterminante

Bei der Transformation der partiellen Ableitung traten im vorangegangenen Abschnitt Faktoren der Art $$_x,_y,_y usw. auf, die wir Metrikkomponenten der Transformation $(x,y)$(,) nannten. Ihre geometrische Deutung ist naheliegend, sofern man näherungsweise

setzt. Offensichtlich handelt es sich bei den Metrikkomponenten um eine vergleichende Größe, die die Bogenlänge einander zugeordneter Abschnitte in Relation setzt.

Tatsächlich läßt sich z.B. die Größe eines Flächenelements des Rechengebiets $dÃ=(d$d mal ) durch die Metrikkomponenten mit derjenigen des dazugehörigen Elements $$dx x dy im Integrationsgebiet vergleichen. Von

(6.17)

folgt

(6.19)

oder aber für den Fall der inversen Abbildung

Abbildung 54: Veranschaulichung der Metrikkomponenten a) $($, ) (x,y) Transformation, $$ b) $(x,y)$(, ) Transformation

Häufig findet man anstelle der Parameterdarstellung (6.1) die inverse Abbildungsvorschrift $(x,y)\; \leftarrow ($,)

$x=x($,) , y = y(,) , t = t() ,

(6.20)

deren unabhängige Variablen $$, , lauten. Betrachtet man z.B. die $x$-Komponente eines ebenen Geschwindigkeitsfeldes, so erhält man wegen

$u\; =\; u(x,y,t)=u[x($,),y(,),t()]

mit Hilfe des totalen Differentials

(6.22)

Die Gleichungen (6.22) stellen ein gekoppeltes System von zwei Gleichungen für die beiden unbekannten partiellen Ableitungen $$u/x und $$u/y dar. Die Auflösung dieses Systems unter Verwendung der Cramer'schen Regel ergibt:

(6.23)

Die Nennerdeterminante der Beziehung (6.23) nennt man Determinante der Jakobimatrix

(6.24)

mit

(6.25)

so daß wir alternativ zu (6.23) auch

(6.26)

verwenden können. Die Ausdrücke (6.26) geben Aufschluß über den Wert der partiellen Ableitungen nach den freien Parametern des kartesischen Systems in Abhängigkeit der partiellen Ableitungen in der transformierten Ebene und inverser Metrikkomponenten etc. Der Fall $$J = 0 entzieht sich unserer Kenntnis. Es handelt sich dabei um eine nicht eindeutig umkehrbare Abbildung $(x,y)$(, ), für die keine Rücktransformation der Ergebnisse ins Ursprungssystem möglich ist. Schließt man derartig pathologische Fälle einmal aus, so läßt sich leicht zeigen, auf welche Weise man die Metrikkomponenten aus einer gegebenen inversen Abbildung gewinnt.

Die Abbildungen

sind offensichtlich zueinander invers, woraus

zu schließen ist. Die Invertierung einer $2\; x\; 2$ Matrix ist durch das einfache Schema beschrieben, weshalb man

(6.30)

findet.

Die Bogenlänge $ds$ eines differentiellen Linienelementes $d$s=(dx; dy) der Ausgangskonfiguration wird durch die Beziehung

$(ds)2=\; dx2+\; dy2$

bzw. mit $x=x($, ) sowie $y=y($, )

(6.32)

beschrieben. Die darin auftretenden Metrikkoeffizienten

(6.33)

nennt man auch die drei Gauß'schen Fundamentalgrößen erster Ordnung. Diese lassen sich zu einer Matrix zusammenfügen

(6.34)

deren Determinante durch

(6.35)

festgelegt ist.

Abbildung 55: Darstellung eines differentiellen Linienelements

Metrikterme wie Gauß'sche Fundamentalgrößen dienen insbesondere zur Beschreibung der Gestalt des körperangepaßten Gitters in kartesischen Bezugssystem. Als erstes wollen wir in diesem Zusammenhang herausfinden, welcher Bedingung die Metrik im Falle orthogonaler Scharlinien $($, ) genügen muß. Der örtliche Verlauf einer Parameterlinie im $(x-y)$ System wird durch den kartesischen Gradienen vektorwertig beschrieben. Die Orthogonalitätsrelation lautet somit

(6.36)

Unter Berücksichtigung von (6.30) erhalten wir eine äquivalente Formulierung auf der Basis inverser Metrikkomponenten,

(6.37)

aus der man die (lokale) Orthogonalitätsbedingung

$g$12 = 0 ,

(6.38)

gewinnt. Häufig wünscht man sich einen glatten Verlauf der Parameterlinien im kartesischen System. Die Parameterwerte dürfen sich dann beim Fortschreiten in $x$ bzw. $y$ -Richtung nur geringfügig ändern. Ein geeigneter skalarer Richtwert ist durch die zu minimierende Beziehung (6.39) gegeben

(6.39)

(6.40)

Die Verwendung inverser Metrikkomponenten führt alternativ zu (6.40) auf

(6.41)

bzw.

(6.42)

Einheitliche Maschen- (bzw. Volumenzellen-) weiten enthält man aus

(6.43)

Hierdurch wird eine gleichmäßige Genauigkeit im Feld gewährleitet.