Behandlung von diskreten Störungen

Die FTCS Diskretisierung der PDG

lautet

(3.9)

Wir wollen nun die Auswirkung einer in ($i,\; m$) eingeleiteten Störung auf den Knotenpunkt ($i,\; m+1$) untersuchen. Hierzu notieren wir

(3.10)

Die Subtraktion von (3.9) und (3.10) liefert

bzw.

und damit

Die mathematische Formulierung der Stabilität, wonach eine relative Vergrößerung der Störung dem Betrage nach vermieden werden muß, lautet also

(3.11)

Als nächstes wenden wir uns der im Knoten $(i+1,\; m+1)$ induzierten Störung zu. Hierzu notieren wir

(3.12)

sowie

(3.13)

Subtrahiert man Gleichung (3.12) von Gleichung (3.13), dann erhält man

und analog für den Knoten $(i-1,\; m+1)$

(Der Fall $d\; =\; 1$ zeigt somit deutlich, wie sich eine Störung entlang der charakteristischen Kurven ausbreitet.) Die letzten beiden Ergebnisse benutzen wir, um die Induktion in dem Knoten $(i,\; m+2)$, der zwei Zeitschritte oberhalb der Störquelle liegt, zu erfassen.

(3.14)

(3.15)

Die stabile Lösung ermittelt man aus

bzw.

zu

(3.16)

Schreitet man zu höheren Zeitlinien fort, so ergeben sich zunehmend restriktivere Bedingungen für $d$. Die Abbildungen 36 und 37 veranschaulichen das Stabilitätsverhalten der FTCS Formulierung. Für $d\; =\; 1.5$ erkennt man eine oszillierende Instabilität, die man daher auch dynamische Instabilität nennt. Wächst die Amplitude ohne einen Vorzeichenwechsel, so nennt man dies statische Instabilität. Wir wollen nun versuchen, den Grenzwert von $d$, der durch

festgelegt ist, zu ermitteln. Hierzu formulieren wir im nächsten Abschnitt ein Matrizenkriterium.

 

Abbildung 24: FTCS Diskretisierung von (3.4). Dämpfung einer im Knoten $(i,m)$ aufgebrachten Störung $$ durch hinreichend kleines $d\; ($d=0.25). 

 

Abbildung 25: Illustration zur Fehlervergrößerung bei FTCS Diskretisierung von (3.4) für $($d=1.5) ($$ dynamische Instabilität).