Rechenablauf des Mehrgitterverfahrens

Der prinzipielle Ablauf des Rechenverfahrens wurde bereits in Abbildung 49 dargestellt. Hier soll das verwendete Relaxationsverfahren, der Übergang vom Fein- zum Grobgitter (Pfeil nach rechts unten) und vom Grob- zum Feingitter (Pfeil nach rechts oben) zusammenfassend beschrieben werden.

Betrachten wir die diskretisierte Form einer Gleichung:

(5.95)

Beim Übergang (Pfeil nach rechts unten) von einer Gitterebene $l-1$ zur Ebene $l$ sind folgende Rechenschritte durchzuführen:

• Die Residuen $Rl-1$ auf dem Feingitter $l-1$ berechnen:

  (5.96)

• Restriktion der Lösungen $$ ^l (nur beim FAS)

  FAS-Verfahren:

  (5.97)

  CS-Verfahren:

  (5.98)

  und der Residuen :

  (5.99)

  mit

  

  Die Modifikation des Restriktionsoperators kommt daher, daß bei der finiten Approximation die ursprünglichen Gleichungen mit dem Quadrat der Schrittweite $D$ und der Jacobi-Determinate multipliziert werden. Während die Jacobi-Determinate auf Grob- und Feingitter etwa gleichbleibt, vergrößert sich $D$ beim Übergang vom Fein- zum Grobgitter immer um den Faktor 2.
• rechte Seite der Grobgittergleichung $fl$:
  FAS-Verfahren:

  (5.100)

  CS-Verfahren:

  (5.101)

Beim Übergang (Pfeil nach rechts oben) von Gitterbebene $l+1$ zur Ebene $l$ sind durchzuführen:

• Die Berechnung der Grobgitterkorrektur $$^l+1 beim FAS-Verfahren:

  (5.102)

• und ihre Prolongation
  FAS-Verfahren:

  (5.103)

  CS-Verfahren:

  (5.104)

• Korrektur der Lösung auf Feingitter $l$
  FAS-Verfahren:

  (5.105)

  CS-Verfahren:

  (5.106)

Es handelt sich hierbei um iterative Verfahren, deren Grundgedanke in Hinblick auf ihre konkrete Anwendung weniger Einschränkungen erfährt. Charakteristisch für MGM ist die gleichzeitige Diskretisierung der zu lösenden DGL auf verschiedenen Gittern unterschiedlicher Maschenweite (typischerweise ). Dies gestattet die Ausnutzung der jedem Gitter eigenen Information über die Lösung des Problems. Hierin liegt der Hauptgrund für die hohe Effektivität von MGM.

Neben Flexibilität und Schnelligkeit weisen MGM weitere vorteilhafte Merkmale auf:

1
Sehr natürlich ist bei MGM eine Selbststeuerung bei der Gittererzeugung. Insbesondere sind lokal begrenzte Gitterverfeinerungen möglich, etwa im Bereich von Singularitäten der Lösung.

2
Bei geeigneter Implementierung läßt sich MGM auch direkt zur Lösung nichtlinearer Aufgaben einsetzen (sog. full approximation scheme ''FAS'').

3
Die für MGM typische, gleichzeitige Benutzung mehrerer Gitter gestattet ohne wesentlichen Mehraufwand die Durchführung von Extrapolationen.

4
Es treten praktisch keine numerischen Stabilitätsschwierigkeiten auf, wie sie bei manchen direkten Lösern zu beobachten sind.