Restriktions- und Prolongationsoperator

Wie bereits erwähnt werden Interpolationen zwischen Fein- und Grobgitter benötigt. Die Interpolation einer Grobgittergröße aus einer Feingittergröße wird Restriktion und die Interpolation einer Feingittergröße aus einer Grobgittergröße Prolongation genannt.

1)

Restriktionsoperator

Die Beziehung zwischen den Gittern wird durch Restriktions- und Interpolationsoperatoren hergestellt. Restriktionsoperatoren bilden Gitterfunktionen eines feinen Gitters $fh,$^h &ldots; auf solche eines gröberen Gitters $fH,$^H &ldots; ab, beispielsweise

Wir wollen uns auf die übliche Gittersequenz $H=2h$ beschränken. $Î$_h^2h ist im allgemeinen Fall (Full weighting) ein Operator, der über sämtliche Nachbarn mittelt.

Diese Darstellung gilt natürlich nur für randferne Punkte. Ansonsten müssen die Gewichte der Nachbarwerte geeignet modifiziert werden. Prinzipiell sind auch anders gewichtete Restriktionsoperatoren möglich, häufig verwendet man lediglich die einfache Injektion. Hierbei wird einem Aufpunkt des groben Gitters der entsprechende Feingitterwert des physikalisch gleichen Punktes zugeordnet. Die Lösung der Grobgittergleichung muß relativ genau erfolgen, da sonst die errechneten Fehler keine sinnvolle Korrektur darstellen. Nach der Lösung erfolgt die Interpolation der Lösung auf ein feineres Gitter.

Der Restriktionsoperator für die Lösung und das Residuum wird wie folgt definiert:

2)

Prolongationsoperator
Interpolationsoperatoren bilden die Gitterfunktionen eines groben Gitters auf ein feines ab. Die Methode der lokalen Fourierreihenentwicklung zeigt, daß die Interpolationsvorschrift konsistent zur Ordnung des Diskretisierungsverfahrens sein sollte. Die Ursache hierfür liegt darin, daß durch die Interpolation von $GH$ auf $Gh$ Interpolationsfehler erzeugt werden, die sich wiederum in Schwingungskomponenten zerlegen lassen. Bei Interpolation von zu geringer Ordnung erhält man möglicherweise neue niederfrequente Fehleranteile. Dieser Effekt kann die Effizienz des Verfahrens zerstören.

Der Prolongationsoperator wird für die Interpolation der Feingitterkorrektur aus der Grobgitterkorrektur benötigt. Hier kann die bilineare Interpolationsformel benutzt werden:

(5.94)

mit $l=0,1$ und $m=0,1$.