Linearisierung parabolischer PDG

Bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen mit Hilfe numerischer Approximationsverfahren muß beachetet werden, daß effiziente Löser nur für lineare Gleichungssysteme zur Verfügung stehen. Da die Diskretisierung nichtlinearer Differentialgleichungen auch auf nichtlineare Gleichungssysteme führt, müssen derartige Systeme linearisiert werden.

Viele Strömungsbilanzgleichungen sind nichtlinear (z.B. Konvektion). Wir betrachten exemplarisch den Term aus der Impulsbilanz für 2d-Strömungen. Die rückwärtige FD-Approximation in positiver $x$-Richtung führt dabei auf:

(3.73)

Diese Differenzengleichung ist nichtlinear für den unbekannten Term $u$_i+1,j. Zur Linearisierung stehen unterschiedliche Methoden zur Verfügung:

• Beim Lagging wird der Koeffizient von der bekannten Station genommen:

  

• Bei der iterativen Methode wird der zurückliegende Wert (zeitlich bzw. iterativ) solange durch neue Lösungen verbessert, bis ein Konvergenzkriterium erfüllt ist.

  

• Newton-Linearisierung des Terms $(A)(B)$ mit Änderung zweier aufeinanderfolgender Iterationen.

  

  Für den nichtlinearen Term erhält man:

  

  und ohne den von höherer Ordnung kleinen Term A B

  

  Die Anwendung auf den konvektiven Term führt auf:

  

  Damit lautet die Approximation:

  

  Bei der Newton Linearisierung muß der Startwert in der Nähe der Lösung liegen. Bei parabolischen PDG ist dies durch Fortschreiten in der parabolischen Richtung möglich.
• Bei der Linearisierung mit Hilfe einer Taylorreihe wird ausgehend von einem bekannten Wert der Iterationsstufe $k$ eine Reihenentwicklung durchgeführt:

  

  Angewandt auf Gleichung (3.73) ergibt das