Die Grundgleichung des elliptischen Gittergenerators

Zur Erklärung des theoretischen Hintergrunds ist es hilfreich, zunächst ein Basiskoordinatensystem $$*_i(i=1,2,3) einzuführen, dessen einzelne Komponenten der Laplacegleichung genügen:

(6.116)

Transformiert man weiterhin das System $$*_i(i=1,2,3) auf ein neues Koordinatensystem (das eigentlich zu generierende System) $$_i(i=1,2,3), dann folgt aus der Gleichung (6.116)

(6.117)

mit

(6.118)

In dieser Gleichung sind $gjk$ die kontravarianten Metrikkoeffizienten. Die $$ⁱ_jk sind durch die Transformation von $$*_i nach $$_i bestimmt und stellen die Verzerrung des zu generierenden Gitterkoordinatensystems $$_i und des Basiskoordinatensystems $$*_i dar.

Dies legt nahe, die Gleichung (6.117) als allgemeines Gittergenerierungssystem zugrundezulegen, wobei der Verzerrungsfaktor $$ⁱ_jk nicht über Gleichung (6.118), sondern als Kontrollfunktion direkt zu bestimmen ist.

Die Lösung der Gleichung (6.117) stellt die krummlinigen Koordinaten $$_i als Funktion der kartesischen Ortskoordinaten $x$_i dar. Wünschenswert wäre aber, den umgekehrten funktionalen Zusammenhang, d.h. die Gitterpunkte im physikalischen Gebiet in Abhängigkeit der krummlinigen Koordinaten, zu kennen. Dazu wird die Gleichung mit $x$_,i multipliziert und es folgt:

(6.119)

Die krummlinigen Koordinaten bilden ein rechteckiges, äquidistantes Gitternetz in der ''computational domain'', in dem die berandenden Koordinatenlinien bzw. -flächen den physikalischen Randlinien bzw. -flächen entsprechen. Damit wird die Lösung von Gleichung (6.117), d.h. die Punkteverteilung in der ''physical domain'', durch die die Oberfläche beschreibenden kartesischen Koordinaten der Randpunkte bestimmt.

Die wichtigsten bzw. dominierendsten Kontrollfunktionen $$ⁱ_jk sind (= 1, 2, 3), die jeweils einer in jeder Koordinatenrichtung unabhängigen Verzerrung entsprechen. Setzt man nun alle anderen Kontrollfunktionen zu null, das heißt

dann ergibt sich Gleichung (6.117) zu:

(6.120)

Wenn die Kontrollfunktionen $$_i null sind, dann reduziert sich Gleichung (6.120) auf die Laplace-Gleichung, die ein glattes Gitternetz erzeugt. Das auf diese Weise erzeugte Netz zeigt die Tendenz, Gitterlinien über konvexen Berandungen zu konzentrieren und über konkaven Rändern auseinanderzuziehen.

Abbildung 79: Elliptisches Gitternetz über a) konvexer und $$ b) konkaver Berandung

Nimmt man jedoch die Kontrollfunktionen $$_i in Gleichung (6.120) hinzu, dann bewirken negative Werte für $$_i eine Bewegung der Linien oder Flächen $$_i = const. in Richtung anwachsender $$_i -Werte; positive Werte haben den entsprechend entgegengesetzten Effekt. Diese Eigenschaft wird dazu benutzt, Gitterpunkte in gewissen Bereichen, z.B. an einer festen Wand, zu konzentrieren.

Abbildung 80: Verzerrung eines elliptischen Netzes durch die Kontrollfunktionen a) $$₁ : ($$-Richtung) $$ b) $$₂ : ($$-Richtung)

Die Auswertung und Bestimmung der Kontrollfunktionen erfolgt in einem automatisierten Prozeß entweder anhand eines vorgegebenen algebraischen Netzes oder durch Interpolation der Randpunkteverteilung ins Gebietsinnere. Beide Methoden werden im folgenden beschrieben.