Zweigitterbeschleunigungsverfahren

Der Berechnungsalgorithmus bei der Zweigitterbeschleunigung setzt sich wie folgt zusammen:

1)

Vorrelaxation
Auf dem Feingitter, gekennzeichnet mit dem hochgestellten Index $h$, wird eine Näherungslösung $$ berechnet, die die Gleichung bis auf ein Residuum $R$ erfüllt:

(5.88)

2)

Bestimmung der Grobgitterkorrektur (zwei verschiedene Verfahren)

2a)

Full Approximation Scheme (FAS) für nichtlineare Gleichungen

Beim FAS werden die Näherungslösung und das Residuum des Feingitters auf das Grobgitter ($H$) restringiert. In der folgenden Gleichung bezeichnet $[\; I$_h^H ] den Restriktionsoperator für die Gittervariablen, $[Î$_h^H] bezeichnet den Restriktionsoperator für das Residuum.

(5.89)

Auf dem Grobgitter wird die Grobgitterlösung der Gleichung mit:

(5.90)

berechnet, wobei die Startwerte auf dem Grobgitter sind.

Aus der Grobgitterlösung wird die Grobgitterkorrektur berechnet:

(5.91)

2b)

Correction Scheme (CS) für lineare Gleichungen

Wenn $L$ ein linearer Operator ist, wird nur das Residuum vom feinen Gitter auf das Grobgitter restringiert. Die Grobgitterkorrektur kann dann direkt berechnet werden:

(5.92)

3)

Prolongation
Die Grobgitterkorrektur wird auf das Feingitter prolongiert und dort zu der Nähungslösung $$ addiert. Hier bezeichnet $[I$_H^h] den Prolongationsoperator vom Grob- auf das Feingitter. Die Korrektur der Feingitterlösung wird wie folgt bestimmt:

(5.93)

4)

Nachrelaxation
Die so korrigierte Lösung für das Feingitter erfüllt in der Regel die Gleichung noch nicht, da durch die Prolongation neue Fehler eingeführt werden. Das Residuum ist allerdings hochfrequent und kann daher leicht durch einige zusätzliche Iterationszyklen auf dem Feingitter reduziert werden.