Approximation zweidimensionaler parabolischer DGL

Wir betrachten die instationäre Wärmeleitungsgleichung im zweidimensionalen Raum:

(3.54)

FTCS Approximation führt auf:

(3.55)

mit den Diffusionszahlen:

Das Stabilitätskriterium ist:

(3.56)

Für konstante Schrittweiten $$x =y ist das Stabilitätskriterium wesentlich restriktiver:

(3.57)

Die implizite Formulierung BTCS führt auf:

oder mit den Diffusionszahlen

 

Abbildung 31: Schematische Darstellung der BTCS-Methode

Wir betrachten die Approximation auf einem $5\; 5$ Gitter, die auf neun algebraische Gleichungen führt.

Die impliziten finiten Differenzengleichungen lauten:

oder in Matrixschreibweise:

 
• ADI-Methode
• Fractional Step Method