Lösungsverfahren der elliptischen DGL.

Nachdem nun verschiedene Methoden zur Bestimmung der Kontrollfunktionen dargelegt wurden, verbleibt schließlich noch die Aufgabe, das elliptische DGL.System (6.120) zu lösen. Dazu ersetzt man den Ortsvektor $x$ durch seine kartesischen Koordinaten $x$_l :

(6.130)

Die Lösung von Gleichung (6.130) erfolgt üblicherweise nach einer Finite-Differenzenapproximation mit dem SOR(Successive-Over-Relaxation)-Verfahren:

Zunächst werden zentrale Differenzenapproximationen zweiter Ordnung für die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von $x$_l im Feld $DR(3,3,0:3)$ abgespeichert:

(6.131)

(6.132)

Die ko- und kontravarianten Koeffizienten $g$_ij bzw. $gij$ (inverse Matrix von $g$_ij ) werden in den Arrays $G(3,3)$ und $GG(3,3)$ gespeichert:

(6.133)

Das SOR-Verfahren ist ein iteratives Verfahren, dessen Konvergenz maßgeblich von der Struktur der zugeordneten Koeffizientenmatrix und damit einerseits von den Koeffizienten der Differenzengleichung und andererseits von der Form der Differenzenapproximation bestimmt ist. Neben der Benutzung der zentralen Differenzenquotienten aus Gleichung (6.131) und (6.132) werden alternativ auch häufig einseitige, sog. ''upwind''-Approximationen benutzt, wodurch sowohl auf das Konvergenzverhalten als auch auf die Qualität der Lösung Einfluß genommen werden kann. Dies gilt im besonderen für die ersten und die gemischten zweiten Ableitungen, da in diesem Fall die zentrale Approximation keinen Beitrag des entsprechenden Diagonalelementes der Koeffizientenmatrix liefert. Im folgenden werden für die einzelnen Terme in Gleichung (6.130) Differenzenausdrücke angegeben, in denen durch die geeignete Wertezuweisung zweier Parameter $$ und $$ eine zentrale, eine reine upwind- oder eine gewichtete zentral/upwind-Approximation gewählt werden kann.