Konvektion und Diffusion

Bisher haben wir folgende Schritte durchgeführt: Überführung der allgemeinen Differentialgleichung mit dem instationären Term, dem Diffusionsterm und dem Quellterm in eine Diskretisierungsgleichung. Die bisherige Ableitung für Wärmeleitung mit Temperatur $T$ und Wärmeleitfähigkeit $k$ kann einfach umgeschrieben werden für eine allgemeine Variable $\phi$ und ihren Diffusionskoeffizienten $\Gamma$. Der bisher weggelassene Konvektionsterm wird hinzugenommen. Die Lösungsmethoden für algebraische Gleichungen können weiter verwendet werden, solange die Hinzunahme des Konvektionsterms die Form der Diskretisierungsgleichung nicht verändert.

Konvektion wird durch Strömung eines Fluids verursacht. In diesem Kapitel suchen wir eine Lösung für $\phi$ in einem gegebenen Strömungsfeld (d.h. gegebene Geschwindigkeiten und Dichte).
Obwohl Konvektion der einzige neue Term ist, ist seine Formulierung nicht trivial. Konvektion ist untrennbar mit Diffusion verbunden; beide Terme müssen daher zusammen behandelt werden. Diffusion ist hier im allgemeinen Sinn gemeint: der Diffusionsstrom der allgemeinen Variablen $\phi$ ist $-\Gamma {\partial \phi \over \partial x_j}$. Die allgemeine Transportgleichung enthält den Term ${\partial \over \partial x_j} \Gamma {\partial \phi \over \partial x_j}$, der als Diffusionsterm bezeichnet wird (Beachte: Summation über $j$, daher Summe aus 3 Komponenten). Gleiches gilt für den Konvektionsterm ${\partial \over \partial x_j} (\varrho u_j \phi)$.
Das Strömungsfeld muß die Kontinuitätsgleichung erfüllen:

$${\partial \varrho \over \partial t} + {\partial \over \partial x_j} (\varrho u_j) = 0 \ .$$ (5.1)

Die allgemeine Differentialgleichung

$${\partial \over \partial t} (\varrho \phi) + {\partial \over \par... ...\over \partial x_j} \left( \Gamma {\partial \phi \over \partial x_j} \right)+ S$$ (5.2)

kann umgeschrieben werden zu

$$\varrho {\partial \phi \over \partial t} +\varrho u_j {\partial \... ...er \partial x_j} \left( \Gamma {\partial \phi \over \partial x_j} \right)+ S\ .$$ (5.3)