Konsequenzen der verschiedenen Schemata

Wir untersuchen die $\phi _P$-Werte, die für $\phi_E$ und $\phi_W$ aus den verschiedenen Schemata folgen.
Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit: $\phi_E = 1$ und $\phi_W = 0,\ (\delta x)_e = (\delta x)_w$. Dann ist $\phi _P$ eine Funktion von $P = \varrho u (\delta x)/ \Gamma$. Die Verläufe von $\phi _P$ sind im Abbildung 27 dargestellt.

Abbildung 27: Darstellung der $\phi _P$-Werte für einen Bereich der Peclet-Zahl bei Verwendung verschiedener Diskretisierungsschemata

(Die Ergebnisse für PS und ES sind für die graphische Darstellung nicht unterscheidbar). Alle Schemata mit Ausnahme des CDS ergeben physikalisch realistische Lösungen. Das CDS ergibt teilweise Werte außerhalb des durch die Randwerte vorgegebenen $[0,1]$-Intervalls.
Da die Gitter-Peclet-Zahl das Verhalten des numerischen Schemas bestimmt, ist es prinzipiell möglich, das Gitter so zu verfeinern (kleineres $\delta x$), bis $P$ klein genug $(<2)$ ist, damit das CDS vernünftige Lösungen ergibt. Für die meisten praktischen Probleme bedeutet das: extrem feine Gitter $\rightarrow$ unökonomisch. Wir können solche Einschränkungen nicht akzeptieren, wenn wir ein Verfahren suchen, das selbst für grobe Gitter physikalisch realistische Ergebnisse produziert. Eine weiter verbesserte Genauigkeit läßt sich durch die im Kapitel 5.5 beschriebenen HOC-Verfahren erreichen.