Das Exponential-Schema (ES)

Die Grundgleichung (5.4) kann analytisch gelöst werden, wenn $\Gamma = const$ ($\varrho u$ ist bereits konstant wegen (5.5)). In einem Gebiet $0 \le x \le L$ mit den Randbedingungen

$$x = 0 \ : \ \phi = \phi_0$$ (5.16)

$$x = L \ : \ \phi = \phi_L$$

ist die Lösung von (5.4):

$${\phi - \phi_0 \over \phi_L - \phi_0} = {exp \left( P {x \over L} \right) - 1 \over exp (P)-1}$$ (5.17)

mit der Peclet-Zahl

$$P = {\varrho u L \over \Gamma} \ .$$ (5.18)

$P$ ist das Verhältnis der Stärken von Konvektion und Diffusion. Die Natur der exakten Lösung wird klar anhand der graphischen Darstellung (Abbildung 24).

Abbildung: Exakte Lösung

• Grenzfall $P = 0$: reine Diffusion (oder Leitung), linearer $\phi$-x-Verlauf.
• Strömung in positiver x-Richtung (d.h. $P > 0$): Der $\phi$-Wert ist mehr beeinflußt durch den Wert $\phi_0$ von stromauf.
• Große positive $P$-Werte: der $\phi$-Wert im größten Teil des Gebiets liegt nahe beim Wert $\phi_0$ von stromauf.
• Und umgekehrt für Strömung in negativer x-Richtung.

Die Konsequenzen für ein angemessenes $\phi (x)$-Profil zwischen den Gitterpunkten, die sich aus der Betrachtung der exakten Lösung des Konvektions-Diffusions-Problems in Abbildung 24 ergeben, sind:

Die Annahmen aus der vorherigen Ableitung für UDS versagen, da das $\phi (x)$-Profil in der Regel sowohl weit enfernt ist von einem linearen Verlauf (mit Ausnahme kleiner Werte von $\vert P \vert$), als auch weit entfernt ist von einem konstanten Wert (mit Ausnahme großer Werte von $\vert P \vert$). Für große $\vert P \vert$ ist $\phi \left( x = {L \over 2} \right)$ ungefähr gleich dem $\phi$-Wert stromauf. Dies ist zwar genau die Annahme des Upwind-Schemas für den konvektiven Term, das UDS verwendet jedoch diesen konstanten Verlauf für alle Werte von $\vert P \vert$, also nicht nur für große, so dass für kleine $\vert P \vert$ die Konvektion überbewertet wird. Für große $\vert P \vert$ ist ${d \phi \over dx} \left( x = {L \over 2} \right) \approx 0$, d.h. es gibt fast keine Diffusion, trotzdem berechnet das UDS den Diffusionsterm stets vom linearen $\phi (x)$-Profil ausgehend (siehe Gleichung 5.15) und überbewertet folglich die Diffusion für große $\vert P \vert$-Werte. Man sagt daher im Allgemeinen, dass sich das UDS zu diffusiv verhält.

Eine Diskretisierungsgleichung, abgeleitet aus der exakten Lösung, hätte keine dieser Schwächen. Das zugehörige Schema heißt

Das Exponential-Schema (ES).

Betrachte den totalen Fluß $J$, der aus dem Konvektionsfluß $\varrho u \phi$ und dem Diffusionsfluß $- \Gamma {d \phi \over dx}$ besteht:

$$J = \varrho u \phi - \Gamma {d \phi \over dx} \ .$$ (5.19)

Damit wird Gleichung (5.4) zu

$${dJ \over dx} = 0$$ (5.20)

und ergibt über das Kontrollvolumen integriert

$$J_e - J_w = 0 \ .$$ (5.21)

Verwendung der exakten Lösung (5.17) als Profil zwischen den Punkten $P$ und $E$ (Ersetzen von $\phi_0$ und $\phi_L$ durch $\phi _P$ und $\phi_E$ sowie $L$ durch $(\delta x)_e$) führt auf einen Ausdruck für $J_e$

$$J_e = F_e \left( \phi_P +{\phi_P -\phi_E \over exp (P_e) -1} \right) \ ,$$ (5.22)

wobei

$$P_e = {(\varrho u)_e (\delta x)_e \over \Gamma_e} = {F_e \over D_e}$$ (5.23)

mit $F_e$ und $D_e$ nach Gleichung (5.9).

$J_e$ ist unabhängig vom Ort der Zwischenstelle (Kontrollvolumen-Wand). Einsetzen von (5.22) und einem ähnlichen Ausdruck für $J_w$ in (5.21) führt auf

$$F_e \left( \phi_P + {\phi_P - \phi_E \over exp (P_e) - 1} \right) - F_w \left( \phi_W + {\phi_W - \phi_P \over exp (P_w) - 1} \right) = 0 \ .$$ (5.24)

In der Standardform

$$a_P \phi_P = a_E \phi_E + a_W \phi_W$$ (5.25)

hat man die Koeffizienten des Exponentialschemas

$$a_E = {F_e \over exp \left( {F_e \over D_e} \right) - 1} \ ;$$

$$a_W = {F_w exp {\left (F_w \over D_w \right)} \over exp \left( {F_w \over D_w} \right) - 1} \ ;$$ (5.26)

$$a_P = a_E + a_W + (F_e - F_w)\ .$$

Für stationäre, eindimensionale Probleme ergibt dieses Schema die exakte Lösung für alle Peclet-Zahlen und beliebige Gitterpunkt-Zahlen.

Trotz dieser starken Vorzüge findet es nur wenig Verwendung:

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Die Exponentialfunktion $exp$ ist numerisch aufwendig.

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Das Schema ist nicht exakt für zwei und drei Dimensionen $\ S \ne 0,$ usw.; daher ist der numerische Aufwand für Exponentiale nicht gerechtfertigt.

Benötigt wird ein leicht rechenbares Schema mit gleichen qualitativen Eigenschaften wie das Exponentialschema.