Einseitig gerichtete Raumkoordinaten

Die in Kapitel 2.2 kurz angesprochenen einseitig gerichteten Koordinaten bringen Rechenvereinfachungen mit sich. Für die Zeit kann man Fortschreitungsverfahren verwenden. Konvektions-Diffusionsprobleme können Raumkoordinaten zu einseitig gerichteten Koordinaten machen (Grenzschichten!).
In Abbildung 25 sieht man, daß der Koeffizient eines stromab-Nachbarn klein wird für große Peclet-Zahlen. ($PS$ setzt $a_E = 0$ für $P > 10, \ HS$ für $P > 2$). Für einen hohen Durchfluß in dem Fall in Abbildung 29 wird für alle Gitterpunkte $P$ auf einer $y$-Linie in Inflow- oder Outflow-Nähe der Koeffizient $a_E = 0$. D.h. $\phi _P$ hängt nur von $\phi_W,\ \phi_N$ und $\phi_S$ ab, nicht von $\phi_E$. Daher wird die $x$-Koordinate eine einseitig gerichtete Koordinate, da der $\phi$-Wert unbeeinflußt vom stromab liegenden Wert ist. Dies ermöglicht die Verwendung eines Fortschreitungsverfahrens (z.B. in Kanalströmungen).

Auch lokal einseitig gerichtetes Verhalten ist nützlich, z.B. bei Randbedingungen. In Kapitel 4 wurden Randbedingungen behandelt. Man könnte annehmen, daß die Behandlung auch für kombinierte Konvektions-Diffusionsprobleme gilt. Am Ausströmrand (outflow) kennt man jedoch im allgemeinen weder den Wert von $\phi$ noch seinen Fluß.

Abbildung: Stromlinienbild einer Stufenströmung

Ausweg?
Es wird keine Randbedingung benötigt, wenn man am Ausströmrand lokal einseitig gerichtetes Verhalten annimmt. Dann wird der Randwert, der mit $a_E$ multipliziert wird, bedeutungslos, d.h. $a_E = 0$. Eine gewisse Ungenauigkeit muß unter Umständen in Kauf genommen werden. Der Fehler kann gering gehalten werden, wenn der Ausströmrand geeignet gewählt wird (siehe Bild 29). Eine schlechte Wahl liegt vor, wenn z.B. lokale Einströmung herrscht (Bild Mitte).

Randbehandlung für Konvektions-Diffusionsprobleme zusammengefaßt:

keine Strömung über den Rand:	$\rightarrow$ reine Diffusion, Behandlung gemäß Kapitel 4.5.
Einströmung ins Rechengebiet:	$\rightarrow$ $\phi$-Wert ist im allgemeinen bekannt
Ausströmung:	$\rightarrow$ siehe oben.