Das Hybrid-Schema (HS)

Zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen ES und HS erfolgt das Auftragen von $a_E$ bzw. seiner dimensionslosen Form $a_E \over D_e$ als Funktion der Peclet-Zahl $P_e$. Aus (5.26) folgt

$${a_E \over D_e} = {P_e \over exp(P_e) - 1}$$ (5.27)

Dieser Verlauf ist im Abbildung 25 dargestellt.

Abbildung: Hybrid-Schema: Verlauf des Koeffizienten $a_E \over D_e$ über der Peclet-Zahl

Für positives $P_e$ ist der Gitterpunkt $E$ der stromab-Nachbar und sein Einfluß verschwindet mit zunehmendem $P_e$. Für negatives $P_e$ ist $E$ der stromauf-Nachbar und hat großen Einfluß.

Einige Eigenschaften des exakten Verlaufs (durchgezogene Linie) sind:

$$P_e \rightarrow \infty : {a_E \over D_e} \rightarrow 0$$

$$P_e \rightarrow - \infty : {a_E \over D_e} \rightarrow - P_e$$ (5.28)

$$P_e = 0,\ : {a_E \over D_e} = 1 - {P_e \over 2}$$

Diese drei Grenzfälle sind ebenfalls im Bild dargestellt (gestrichelt). Sie formen eine Einhüllende und stellen eine vernünftige Approximation der exakten Kurve dar. Das Hybrid-Schema besteht aus diesen drei Geraden, so daß sich ergibt:

$$P_e <- 2: {a_E \over D_e} = - P_e$$

$$-2 \le P_e \le 2: {a_E \over D_e} = 1 - {P_e \over 2}$$ (5.29)

$$P_e > 2: {a_E \over D_e} = 0$$

oder in Kompaktform:

$$a_E = D_e \, [\![ -P_e,\ 1 - {P_e \over 2},\ 0]\!] \qquad a_E = [\![ -F_e,\ D_e - {F_e \over 2},\ 0]\!]$$ (5.30)

Signifikanz des HS:

Es ist identisch mit dem CDS für $-2 \le P_e \le 2$, und außerhalb reduziert es sich auf das UDS mit Diffusion $= 0$.

Die Konvektions-Diffusions-Diskretisierungsgleichung für das HS ist also

$$a_P \phi_P = a_E \phi_E + a_W \phi_W$$ (5.31)

mit

$$a_E = [\![-F_e,\ D_e - {F_e \over 2},\ 0]\!]$$

$$a_W = [\![+F_w,\ D_w + {F_w \over 2},\ 0]\!]$$ (5.32)

$$a_P = a_E + a_W + (F_e - F_w)$$

Diese Formulierung gilt für jede beliebige Lage der Kontrollvolumen-Wände.