Das MUSCL-Schema

Formal an das nichtlimitierte Schema (5.57) angelehnt, läßt sich ein allgemeines TVD-Schema für die Interpolation der zellzentralen Variablen auf die Zellgrenzflächen formulieren: das MUSCL-Schema (Monotonic Upstream Scheme for Conservation Laws, van Leer, 1979). Dabei werden zusätzlich zwei Terme quasi als Dämpfungsterme (Limiter) eingefügt.

$$\phi_{f} = \phi_{C} +\frac{1}{4}\left( (1+\kappa) \underbrace{\va... ...appa) \underbrace{\varphi (\frac{1}{r})}_{Limiter} (\phi_{C}-\phi_{U})\right) .$$ (5.67)

Die Limitierung wird durch den funktionalen Zusammenhang von $\varphi$ und $r$ bestimmt. Um die oben erwähnte Forderung nach Begrenzung der Totalen Variation erfüllen zu können, muß die Limitierungsfunktion $\varphi(r)$ innerhalb des schraffierten Bereichs in Abbildung 32 liegen.

Abbildung: Bereiche von $r$ und $\varphi$, für die ein Schema die TVD-Bedingung erfüllt.

Die Einführung der dimensionslosen Variablen $\tilde{\phi}$ und $r$

$$\tilde{\phi}=\frac{\phi -\phi_{U}}{\phi_{D}-\phi_{U}} \ ; \qquad \qquad r=\frac{\phi_{C}-\phi_{U}}{\phi_{D}-\phi_{C}}$$ (5.68)

ergibt für dieses Schema:

$$\tilde{\phi}_f=\tilde{\phi}_C+\frac{1}{4}\tilde{\phi}_C \left[ (1+\kappa)\frac{1}{r}\varphi (r)+(1-\kappa)\varphi (\frac{1}{r}) \right] .$$

An dieser Stelle sollen symmetrische Limitierungsschemata betrachtet werden, die der Gleichung

$$\varphi (r)=r \varphi (\frac{1}{r}) \ ,$$ (5.69)

genügen und somit die Gradienten auf beiden Seiten in gleicher Weise behandeln. Unter dieser Annahme vereinfacht sich das Schema erheblich und der Rechenaufwand bei der Anwendung symmetrischer Verfahren ist erheblich geringer. Der Parameter $\kappa$ aus Gleichung (5.67) fällt weg und es bleibt schließlich die Gleichung für ein sehr einfaches Schema, das nur durch unterschiedliche Funktionen $\varphi(r)$ variiert wird:

$$\tilde{\phi}_f=\tilde{\phi}_C+\frac{\varphi (r)}{2}(1-\tilde{\phi}_C) .$$ (5.70)

In dieser Form, die als symmetrisches MUSCL-Schema bekannt ist, lassen sich viele verschiedene symmetrische Verfahren zusammenfassen. Auch QUICK läßt sich beispielsweise durch geeignete Wahl von $\varphi(r)$ im MUSCL-Schema darstellen.

Abbildung 33: Verlauf der dimensionslosen Variable bei unterschiedlichem $r$

Aufgrund der Normierung ergeben sich einige anschauliche Zwangsbedingungen für die Monotonie des Verfahrens, die äquivalent zu den mathematisch geforderten Bedingungen sind. Zur Verdeutlichung sind in Abbildung 33 die Verteilungen der normierten Größen $\tilde{\phi}$ für einen monotonen Verlauf (links, $r>0$) und das Auftreten einer Extremstelle (rechts, $r<0$) dargestellt. Im Fall einer aufgetretenen Extremstelle muß gelten:

$$\tilde{\phi}_f=\tilde{\phi}_C \quad \tilde{\phi}_C\le 0 \quad \tilde{\phi}_C\ge 1,$$ (5.71)

was quasi ein ''Abschneiden'' der Extremwerte durch Herabsetzung der Approximationsordnung bedeutet, und bei monotonem Verlauf

$$\tilde{\phi}_f \le 1, \quad \tilde{\phi}_f\le 2\tilde{\phi}_C, \quad \tilde{\phi}_f \ge \tilde{\phi}_C, \quad 0<\tilde{\phi}_C<1$$ (5.72)

zur Verhinderung der Bildung neuer Extremstellen. Hier muß bei einem beschränkten Differenzenschema sichergestellt sein, daß der Wert auf der Zellgrenze immer zwischen den Variablenwerten in den Zellzentren liegt. Bezogen auf die Funktion $\varphi(r)$ ergibt sich daraus die Beschränkung, daß $\varphi(r)$ immer im schraffierten Bereich von Abbildung 32 liegen muß.

Unter der Beachtung aller Forderungen an $\varphi(r)$ aus Abbildung 32 und aus Gleichung (5.69) ergibt sich die allgemeine Formulierung für das MUSCL-Schema:

$$\varphi (r)=\max(0,\min(2r,\gamma_1+\gamma_2r,\gamma_2+\gamma_1r,2)$$ (5.73)

mit

$$\gamma_1+\gamma_2=1 .$$ (5.74)

Es bleibt letztlich nur ein frei wählbarer Parameter $\gamma$, der unterschiedliche Varianten von MUSCL unterscheidet:

$$\gamma_1=\gamma \qquad \gamma_2=1-\gamma .$$ (5.75)

Bei der Umsetzung des MUSCL-Verfahrens wird diese Beziehung in die dimensionsbehaftete Variante von Gleichung (5.70) eingesetzt.