Einfaches, lehrreiches Beispiel

$$D_e = D_w = 1 \ , \qquad F_e = F_w = 4 \ .$$

Wenn $\phi_E$ und $\phi_W$ gegeben sind, kann $\phi _P$ aus (5.10) berechnet werden:

a)

$\phi_E = 200$     und      $\phi_W = 100 \quad \rightarrow \quad \phi_P = 50 \ !$

b)

$\phi_E = 100$     und      $\phi_W = 200 \quad \rightarrow \quad \phi_P = 250 \ !$

Da $\phi _P$ nur innerhalb des durch die Nachbarn vorgegebenen Intervalls liegen kann, sind diese Ergebnisse unrealistisch.

Aus (5.11) ist erkennbar: Die Koeffizienten können negativ werden. Wenn $\vert F \vert > 2D$, dann kann $a_E$ abhängig vom Vorzeichen von $F$ negativ werden. Das verletzt Grundregel 2 (positive Koeffizienten). Negative Koeffizienten bedeuten ebenfalls, daß

$$a_P = \sum a_{nb} < \sum \vert a_{nb} \vert \ ,$$

was das Scarborough-Kriterium verletzt. Damit kann eine Lösung durch Punktiteration divergieren.

Die vorläufige Formulierung führt auf eine unakzeptable Diskretisierungsgleichung. Eine bessere Formulierung ist gesucht!