Implementierung

Der Quellterm $S_{\phi,korr}$ ergibt sich nach

$$S_{\phi,korr}=\sum_{f=e,w} F_f \phi_{f,korr} +\sum_{f=n,s} F_f \phi_{f,korr} .$$ (5.59)

Durch Einsetzen von (5.57) in diese Gleichung ergibt sich unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Terme $\phi_{U}$, $\phi_{C}$ und $\phi_{D}$ eine Form, in der das Schema implementiert werden kann:

$$S_{\phi,korr}= - 0.25 (F_e) \left[ c_e^+(\kappa^+\Delta\phi_e+\kappa^-\Delta\phi_w) -c_e^-(\kappa^+\Delta\phi_e+\kappa^-\Delta\phi_{ee}) \right]$$ (5.60)

$$+ 0.25 (F_w) \left[ c_w^+(\kappa^+\Delta\phi_w+\kappa^-\Delta\phi_{ww}) -c_w^-(\kappa^+\Delta\phi_w+\kappa^-\Delta\phi_e) \right]$$

$$+ 0.25 (F_s) \left[ c_s^+(\kappa^+\Delta\phi_s+\kappa^-\Delta\phi_{ss}) -c_s^-(\kappa^+\Delta\phi_s+\kappa^-\Delta\phi_n) \right]$$

$$- 0.25 (F_n) \left[ c_n^+(\kappa^+\Delta\phi_n+\kappa^-\Delta\phi_s) -c_n^-(\kappa^+\Delta\phi_n+\kappa^-\Delta\phi_{nn}) \right] .$$

Dabei sind

$$\kappa^+=1+\kappa \ ; \qquad \kappa^-=1-\kappa \ ;$$ (5.61)

$$c_e^{\pm}=\frac{1\pm \mbox{sgn}(F_e)}{2} \ ; \qquad c_w^{\pm}=\frac{1\pm \mbox{sgn}(F_w)}{2} \ ;$$

$$c_n^{\pm}=\frac{1\pm \mbox{sgn}(F_n)}{2} \ ; \qquad c_s^{\pm}=\frac{1\pm \mbox{sgn}(F_s)}{2} \ ;$$

und

$$\Delta\phi_{ee} =\phi_{EE}-\phi_E \ ; \qquad \Delta\phi_e=\phi_E-\phi_P \ ;$$ (5.62)

$$\Delta\phi_{ww} =\phi_W-\phi_{WW} \ ; \qquad \Delta\phi_w=\phi_P-\phi_W \ ;$$

$$\Delta\phi_{nn} =\phi_{NN}-\phi_N \ ; \qquad \Delta\phi_n=\phi_N-\phi_P \ ;$$

$$\Delta\phi_{ss} =\phi_S-\phi_{SS} \ ; \qquad \Delta\phi_s=\phi_P-\phi_S \ .$$

Auf diese Weise können sämtliche Schemata in ein Programm implementiert werden, d.h. nur der Upwind-Teil wird voll implizit gelöst und die Korrekturterme, die u.U. auf andere Kontrollvolumina zurückgreifen, gehen nur auf der rechten Seite in den Quellterm ein. Ein solches Verfahren vermeidet, daß durch die Einführung von größeren Differenzenmolekülen Koeffizientenmatrizen mit übermäßig großer Bandbreite entstehen, die dann erheblich ungünstiger zu lösen sind. Der implizite Teil führt auch bei den Verfahren höherer Ordnung stets auf Matrizen gleicher Bandbreite wie bei den Verfahren niederer Ordnung. Die Verfahren höherer Ordnung zeigen eine ähnliche numerische Stabilität wie das Upwind-Schema und sind dabei erheblich genauer.

Für die Randbereiche ist es problematisch dieses Schema zu implementieren, da hier keine Punkte EE bzw. WW vorhanden sind. Dieses Problem tritt mit der Vergrößerung der Ordnung eines Verfahrens immer mehr in den Vordergrund. Es müssen spezielle Annahmen für die Behandlung des Randes vorgesehen werden, wobei zumeist die Ordnung durch Setzen von

$$\phi_{U}=\phi_{C}$$

am Rand vermindert wird, so daß bis in die Randbereiche hinein gerechnet werden kann.