Diskretisierungsgleichung für zwei Dimensionen

Man betrachte das Kontrollvolumen im Abbildung 28.

Abbildung 28: Diskretisierung in zwei Dimensionen

Wir nehmen an, daß der gesamte Fluß, z.B. $J_e$ über der Kontrollvolumen-Wand, z.B. $e$, konstant ist.
Ein Detail: Selbst im eindimensionalem Fall ergab sich $a_P = a_E + a_W$ nur, wenn die Kontinuitätsgleichung erfüllt war. Damit kann die Grundregel 4 (Summe der Nachbarkoeffizienten) nur erfüllt werden, wenn wir die Kontinuitätsgleichung in die Ableitung einbeziehen.
Die zweidimensionale Form von Gleichung (5.2) kann geschrieben werden als

$${\partial \over \partial t} (\varrho \phi) + {\partial J_x \over \partial x} + {\partial J_y \over \partial y} = S$$ (5.38)

mit $J_x,\ J_y$ als den gesamten (Konvektion + Diffusion) Flüssen:

$$J_x = \varrho u \phi - \Gamma {\partial \phi \over \partial x} \ ,$$

$$J_y = \varrho v \phi - \Gamma {\partial \phi \over \partial y} \ ,$$ (5.39)

wobei $u$ und $v$ die Geschwindigkeitskomponenten in $x$-Richtung und $y$-Richtung sind.
Integration von (5.38) über das Kontrollvolumen ergibt:

$${(\varrho_P \phi_P - \varrho^0_P \phi^0_P) \Delta x \Delta y \over \Delta t} + J_e - J_w + J_n - J_s = (S_C + S_P \phi_P) \Delta x \Delta y \ ,$$ (5.40)

wobei der Quellterm wie üblich linearisiert wurde und für den instationären Term $\varrho_P$ und $\phi _P$ als konstant über das Kontrollvolumen angenommen wurden. Die ´´alten´´ Werte (Beginn des Zeitschritts) sind $\varrho_P^0$ und $\phi_P^0$. Genau wie bei der voll impliziten Praxis sind die anderen Größen ohne Index die ´´neuen´´. $J_e,\ J_w,\ J_n,\ J_s$ sind die über die Kontrollvolumen-Wände integrierten Gesamtflüsse, d.h. $J_e$ steht für $\int\limits_e J_x dy$ usw. In ähnlicher Weise integrieren wir die Kontinuitätsgleichung (5.1) über das Kontrollvolumen:

$${(\varrho_P - \varrho^0_P) \Delta x \Delta y \over \Delta t} + F_e - F_w + F_n - F_s = 0 \ ,$$ (5.41)

wobei $F_e,\ F_w,\ F_n,\ F_s$ die Massenflüsse durch die Kontrollvolumenwände sind. Wir nehmen an, daß $\varrho u$ am Punkt $e$ konstant über die ganze Wand $e$ ist:

$$F_e = (\varrho u)_e \Delta y$$

und analog

$$F_w = (\varrho u)_w \Delta y \ ,$$

$$F_n = (\varrho v)_n \Delta x \ ,$$ (5.42)

$$F_s = (\varrho v)_s \Delta x \ .$$

Multiplikation von Gleichung (5.41) mit $\phi _P$ und Abziehen von (5.40) ergibt:

$$\ (\phi_P - \phi_P^0)\frac{\varrho_P^0 \Delta x \Delta y}{\Delta t}... ..._e - F_e \phi_P) - (J_w - F_w \phi_P) + (J_n - F_n \phi_P) - (J_s - F_s \phi_P)$$

$$= (S_C + S_P \phi_P) \Delta x \Delta y \ .$$ (5.43)

Die Annahme der Konstanz der Flüsse auf den Kontrollvolumen-Wänden ermöglicht die Anwendung der eindimensionalen Praxis für zweidimensionale Fälle. So lassen sich Terme wie $(J_e - F_e \phi_P)$ und $(J_w - F_w \phi_P)$ ausdrücken:

$$J_e - F_e \phi_P = a_E (\phi_P - \phi_E) \ ,$$

$$J_w - F_w \phi_P = a_W (\phi_W - \phi_P) \ ,$$ (5.44)

wobei

$$a_E = D_e A (\vert P_e \vert ) + [\![ - F_e, 0 ]\!] \ ,$$

$$a_W = D_w A (\vert P_w \vert ) + [\![ + F_w, 0 ]\!] .$$ (5.45)

$D_e$ und $D_w$ und ihre Gegenstücke $F_e$ und $F_w$ enthalten die Flächen $\Delta y \cdot 1$ der Wände $e$ und $w$. Mit ähnlichen Ausdrücken für $(J_n - F_n \phi_P)$ und $(J_s - F_s \phi_P)$ können wir die endgültige Diskretisierungsgleichung schreiben. (Die Grundregel über die Summe der Nachbarkoeffizienten ist erfüllt, auch wenn das Strömungsfeld nicht die Kontinuitätsgleichung erfüllt.)

Die zweidimensionale Diskretisierungsgleichung ist dann

$$a_P \phi_P = a_E \phi_E + a_W \phi_W + a_N \phi_N + a_S \phi_S + b \ ,$$ (5.46)

wobei

$$a_E = D_e A (\vert P_e \vert ) + [\![ - F_e, 0 ]\!]$$

$$a_W = D_w A (\vert P_w \vert ) + [\![ + F_w, 0 ]\!]$$

$$a_N = D_n A (\vert P_n \vert ) + [\![ - F_n, 0 ]\!]$$

$$a_S = D_s A (\vert P_s \vert ) + [\![ + F_s, 0 ]\!]$$ (5.47)

$$a_P^0 = {\varrho_P^0 \Delta x \Delta y \over \Delta t}$$

$$b = S_C \Delta x \Delta y + a_P^0 \phi_P^0$$

$$a_P = a_E + a_W + a_N + a_S + a_P^0 - S_P \Delta x \Delta y\ .$$

$\phi_P^0$ und $\varrho_P^0$ sind bekannte Werte zur Zeit $t$, alle anderen Größen ( $\phi_P,\ \phi_E,\ \phi_W$ usw.) sind die Unbekannten zur Zeit $t+\Delta t$. Die Flüsse $F_e,\ F_w,\ F_n,\ F_s$ sind in (5.43) definiert. Die entsprechenden Leitfähigkeiten sind

$$D_e = \frac{\Gamma_e \Delta y}{(\delta x)_e} \ ; D_w = \frac{\Gamma_w \Delta y}{(\delta x)_w} \ ;$$

$$D_n = \frac{\Gamma_n \Delta x}{(\delta y)_n} \ ; D_s = \frac{\Gamma_s \Delta x}{(\delta y)_s} \$$ (5.48)

und die Peclet-Zahlen sind

$$P_e = {F_e \over D_e}\ ; \quad P_w = {F_w \over D_w}\ ; \quad P_n = {F_n \over D_n}\ ; \quad P_s = {F_s \over D_s}\ .$$ (5.49)

Die Funktion $A( \vert P \vert )$ kann für das gewünschte Schema der Tabelle in Kapitel 5.1.7 entnommen werden. Das empfohlene Power-Law-Schema ist

$$A (\vert P \vert ) = [\![ 0, (1-0.1 \vert P \vert )^5 ]\!]\ .$$ (5.50)