Grundlagen der FVM für Strukturmechanik

  Es soll im folgenden Kapitel kurz angedeutet werden, wie die örtliche Diskretisierung der verschiedenen Gleichungen durchzuführen ist. Es werden die Ausdrücke für sämtliche Ableitungen und die Koordinatentransformationen erläutert und angegeben, wobei zeitunabhängig formuliert wird. Desweiteren folgt eine Formulierung für das Materialgesetz und die Verschiebungs- Verzerrungs-Relationen am Beispiel der Scheibe. Anschließend werden die Differentialgleichungen für Verschiebungen und Temperatur umgeschrieben und über ein Kontrollvolumen integriert. Zum Schluß gelangen wir zum Aufbau eines linearen Gleichungssytemes (LGS) für strukturierte Gitter.
Es findet im weiteren eine Beschränkung auf zwei Dimensionen in kartesischen Koordinaten mit zwei Freiheitsgraden der Verschiebung statt, $v$_x und $v$_y. Das verwendete Materialgesetz ist voll anisotrop und linear-elastisch, die Verschiebungs- Verzerrungs-Relationen beinhalten nur die in den Verschiebungsableitungen linearen Terme. Bei der Temperatur werden keine Wärmequellen berücksichtigt. Dynamik, große Verformungen so wie plastisches Materialverhalten können in dieser Ausbaustufe NICHT behandelt werden. Denkbare Erweiterungen sind bis jetzt spannungs- und temperaturabhängige Materialgesetze, die jedoch bei kleinen Verformungen wenig Erkenntnisgewinn bringen können. Ein Einbau der in den Verschiebungsableitungen nichtlinearen Anteile des Verzerrungstensors ist möglich, jedoch in dieser Ausbaustufe ebenfalls nicht sinnvoll. Eine Erweiterung auf dreidimensionale Rechnungen ist dagegen in der Theorie problemlos.
Die Einschränkung auf kleine Verschiebungen wird durch die Formulierung in Eulerschen Koordinaten (wie in Kapitel 2 erklärt) erzwungen, da man die für die Formulierung in Lagrangeschen Koordinaten benötigte neue Position (die ja noch erst errechnet wird) des Teilchens noch nicht kennt. Es wäre aber mit bewegten Gittern eine stückweise Linearisierung des Verhaltens bei großen Verformungen oder Verzerrungen denkbar. Mann könnte damit die notwendige Formulierung in Lagrangeschen oder materieller Darstellung umgehen, da für sehr kleine Schritte in der Verschiebung die Formulierung in sich schrittweise ändernden Eulerschen oder raumfesten Koordinaten nur zu geringen Fehlern führen kann. Erreicht werden kann das z.B durch sehr langsames Aufbringen von Lasten oder Verschiebungen als Randbedingungen (oder sehr kleine Zeitschritte).

 
• Ableitungen an Kontrollvolumenrändern
• Transformation
• Materialgesetz und Verschiebungs-Verzerrungs-Relationen
• Differentialgleichungen
• Integration
• Aufbau des Gleichungssystems
• Implementierung