Materialgesetz

Material wird ideal-elastisch genannt, wenn ein Körper aus diesem Material nach einer Belastung, die diesen Körper verformt hat, wieder komplett in seinen Ausgangszustand zurückkehrt. Relaxation bei konstanter Dehnung oder Retardation bei konstanter Spannung werden dabei nicht berücksichtigt. Die Abhängigkeit der Materialwerte von der Temperatur werden vernachlässigt, anstelle dessen modelliert man Dehnungen infolge von Temperaturänderungen mittels Wärmeausdehnungskoeffizienten, die linear superponiert werden. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Änderungen so langsam erfolgen, daß keine Beschleunigungen auftreten, siehe [17]. Sind die Lasten und Verformungen hinreichend klein, so können alle Zusammenhänge als linear betrachtet werden und diese Superposition ist gerechtfertigt. Dabei darf es also nicht zu Instabilitätsversagen kommen (Beulen oder Durchschlagen).
Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz lautet:

$T$_ij&thicksp;=&thicksp;E_ijklE_kl.

Hierbei ist anzumerken, daß die Komponenten $E$_ijkl die Materialkonstanten sind, während die $E$_kl die Komponenten des Lagrangeschen Verzerrungstensor sind. Die $T$_ij bilden die Komponenten des zweiten Piola-Kirchhoff Spannungstensors. Alle Tensoren werden auf den Ausgangszustand des Materials bezogen.
Wenn die Verschiebungsgradienten klein gegenüber eins sind, dann kann auch der Cauchysche Spannungstensor (bezogen auf die Momentankonfiguration) und die Verzerrungstensorkomponenten für kleine Verzerrungen verwendet werden,

$T$_ij&thicksp;=&thicksp;E_ijklε_kl.

Die $E$_ijkl sind symmetrisch bezüglich i,j und k,l. Bei Isotropie folgt dann das in Kapitel 3.3 gesagte.