Aufbau des Gleichungssystems

Im folgenden wird der Aufbau des linearen Gleichungssystems, welches gelöst werden soll, vorbereitet. Die Verschiebungs- und Temperaturwerte werden zellzentral gespeichert, so daß die benötigten Eckwerte mit den klein geschriebenen Indizes aus zwei Buchstaben, z.B.: $(..)$_ne oder $(..)$_sw, berechnet werden müssen. Dies erfolgt mittels linearer Interpolation aus den Nachbarpunkten. Die Interpolationsfaktoren ergeben sich aus der Kontrollvolumengeometrie.

Damit folgt z.B.

Diese Werte werden als Eckpunktwerte im Programm extra berechnet und explizit behandelt, weil sie die Bandbreite der Matrix der Koeffizienten des LGS durch einen größeren ``Stern'' unerwünscht vergrößern würden und möglicherweise die Diagonaldominanz zerstören könnten. Der größere ``Stern'' kommt dadurch zustande, daß für die Berechnung der Eckpunktwerte (Interpolation) z.B. auch über Kreuz benachbarte Punkte herangezogen werden.
Dementsprechend werden Differenzen von Eckpunktweren (z.B. $\Delta T$_ne,se) nicht ausgeschrieben, sondern in der Differenz beibehalten. Die Implementierung bereitet dann mittels expliziter Behandlung keine Probleme, da diese Terme nicht den Koeffizienten der Matrix aufgeschlagen, sondern zu dem Vektor der rechten Seite addiert werden.
Zum Aufbau des zu lösenden Gleichungssystemes können die Faktoren wie folgt zusammengefaßt werden:

$A$_PΨ_P&thicksp;+&thicksp;A_EΨ_E&thicksp;+&thicksp;A_WΨ_W&thicksp;+&thicksp;A_NΨ_N&thicksp;+&thicksp; A_SΨ_S&thicksp;=&thicksp;Q_P,

wobei die $A$_.. die Koeffizienten des linearen Gleichungsssystems sind und $Q$_P die rechte Seite darstellt. Die $\Psi$_.. stehen allgemein für eine Variable (Verschiebung oder Temperatur). In $Q$_P werden alle nicht in $A$_.. zusammengefassten Terme berücksichtigt, z.B. die explizit zu behandelnden Anteile.
Für die Faktoren aus den West- und Südtermen gilt:

$A$_W(IJ)&thicksp;=&thicksp;- A_E(IJ-NJ) und A_S(IJ)&thicksp;=&thicksp;- A_N(IJ-1)&thicksp;.

Die hierfür verwendete Indexkonvention für strukturierte Gitter entnimmt man Abbildung 4.

  
Abbildung 4: Indizierung der Punkte

Das Ziel, ein Gleichungssystem der Art:

$\{(AA..A........AAAA..AAAA..AAAA.AAAAA..AAAAA...A$_W . . A_S A_P A_N . . A_E . . . A A A A A . . A A A A A . A A A A . . A A A A . . A A A A . . . . . . . . A . . A A } {( $\Psi$(1) . $\Psi$_W . . $\Psi$_S $\Psi$_P $\Psi$_N . . $\Psi$_E . $\Psi$(IJ) }= {( Q(1) . . . . . Q_P . . . . . Q(IJ) }

aufzubauen, ist jetzt erreicht.
Dabei stellt sich bei einem strukturierten Gitter eine Bandmatrix ein. Die Bandbreite ist $2NJ+1$, allerdings ist das Band, wie in 82 zu sehen ist, nicht voll besetzt, dargestellt sind nur die Werte ungleich Null. Die Koeffizienten lassen sich aus den vorher abgeleiteten Gleichungen angeben.