Transformation

Da die Gitterlinien im allgemeinen nicht orthogonal und parallel zu den globalen $x,y$-Koordinatenlinien sind, ist eine Transformation der Ableitungen in das lokale $\xi ,\eta$-Koordiantensystem des einzelnen Kontrollvolumens erforderlich. Es gilt für eine beliebige Größe $\Psi$

In Matrixschreibweise erhält man:

$$
image_mark>#pmatrix4773#
=
image_mark>#bmatrix4779#

image_mark>#pmatrix4789#
&thicksp;.

Nach einer Matrizeninversion folgt:

$$
image_mark>#pmatrix4797#
= {1J}
image_mark>#bmatrix4805#

image_mark>#pmatrix4815#
&quad;mit&quad; J= {&pd;x&pd;ξ} {&pd;y&pd;η} -{&pd;x&pd;η}{&pd;y&pd;ξ}.

Folglich gilt:

Es sei noch folgender Zusammenhang aufgeführt

da er häufig bei den Umformungen der ausgeschriebenen Differentialgleichungen verwendet wird. Für die Determinante der Jacobi-Matrix einer Kontrollvolumenfläche ergibt sich somit in der diskretisierten Form:

$J$_e={Δx_E,PΔy_ne,se-Δx_ne,seΔy_E,PΔξ_E,PΔη_ne,se} und J_n={Δx_ne,nwΔy_N,P-Δx_N,PΔy_ne,nwΔξ_ne,nwΔη_N,P}.