Differentialgleichungen

Im Strukturteil des Programmes Elan2 ist die Lösung (vorerst) für die Verschiebungen und die Temperatur vorgesehen. Ausgegangen wird dabei von den Erhaltungsgleichungen für Impuls und Energie in folgender einfachen Form:

$\int$_V f d V= ∫_S T dS   ,  

$\int$_S q dS = 0   .  

Dabei steht $$q für den Wärmefluß und $$f für den Volumenkraftvektor. Es sind folglich keine Wärmequellen vorgesehen, alle Grössen sind stationär (zeitliche Ableitungen verschwinden) und es gibt keine bewegten Oberflächen. Mit dem Satz von Gauß wird umgeformt in

$\int$_V f   d V= ∫_V divT   d V   ,

$\int$_V div q   d V= 0   .

Die Differentialgleichungen lauten dann

$f$_i= {&pd;T_ij&pd;x_j}   ,

_i&pd;x_i}=0   ,

wobei $i$ und $j$ die Werte 1 und 2 oder $x$ und $y$ in kartesischen Koordinaten annehmen. Ausgeschrieben nehmen diese Gleichungen in kartesischen Koordinaten die folgende Form an:
 
Nach einer Transformation der äußeren Ableitungen in lokale Koordinaten ergibt sich