Die Impulsgleichungen

Für gegebenes Druckfeld gibt es keine Schwierigkeiten, die Impulsgleichungen für $u,v,w$ zu lösen. Es gibt einige kleine Unterschiede im Vergleich zur allgemeinen $\phi$-Gleichung wegen des gestaffelten Gitters. Die gestaffelten Kontrollvolumen für die $x$- und $y$-Impulsgleichungen sind im Abbildung 46 dargestellt.

Abbildung 46: Gestaffelte Kontroll-Volumina

Z.B. für $u$ liegen die Wände des Kontrollvolumens zwischen dem Punkte $e$ und den entsprechenden Orten für die Nachbar-$u$-Geschwindigkeiten. Es ist damit versetzt in Bezug auf das normale Kontrollvolumen um den Hauptgitterpunkt P, und zwar nur in $x$-Richtung, so daß die Wände senkrecht zur x-Richtung durch die Hauptgitterpunkte $P$ und $E$ gehen. Damit kann die Druckdifferenz $p_P - p_E$ zur Berechnung der auf das $u$-Kontrollvolumen wirkenden Druckkräfte verwendet werden. Die Berechnung der Diffusionskoeffizienten und der Massenflüsse an den Wänden des $u$-Kontrollvolumens erfordern passende Interpolationen: im wesentlichen kann die in Kapitel 5 beschriebene Formulierung verwendet werden.
Die resultierende Diskretisierungsgleichung für den $x$-Impuls ist

$$a_e u_e = \sum a_{nb} u_{nb} + b + (p_P - p_E) A_e \ .$$ (6.8)

Die Nachbarkoeffizienten $a_{nb}$ berücksichtigen den kombinierten Konvektions-/Diffusionsfluß an den Kontrollvolumen-Wänden. Der Term $b$ ist wie in Gleichung (5.47) oder (5.52) definiert, aber der Druckgradient ist nicht in den Quelltermgrößen $\underline{S_c}$ und $\underline{S_p}$ enthalten. Der Druckgradient führt auf den letzten Term in (6.8), $(p_P - p_E) A_e$. Er ist die auf das $u$-Kontrollvolumen wirkende Druckkraft, wobei $A_e$ die Fläche ist, auf die der Druck wirkt. Im dreidimensionalen Fall ist $A_e = \Delta y \cdot \Delta z$. Analoges gilt für das Kontrollvolumen für den y-Impuls, welches in y-Richtung versetzt ist. Die Diskretisierungsgleichung für $v_n$ ist

$$a_n v_n = \sum a_{nb} v_{nb} + b + (p_P - p_N) A_n \ ,$$ (6.9)

wobei $(p_P - p_N) A_n$ die entsprechende Druckkraft ist. Für die $w$-Geschwindigkeit kann leicht eine analoge Gleichung abgeleitet werden.
Die Impulsgleichungen können nur gelöst werden, wenn das Druckfeld gegeben oder irgendwie geschätzt wird. Wenn nicht das richtige Druckfeld verwendet wird, wird das resultierende Geschwindigkeitsfeld nicht die Kontinuitätsgleichung erfüllen. Ein solches Geschwindigkeitsfeld, basierend auf einem nicht perfekten Druckfeld $p^*$, sei mit $u^*,\ v^*,\ w^*$ bezeichnet. Dieses ''gesternte'' Geschwindigkeitsfeld ergibt sich aus der Lösung der Diskretisierungsgleichungen

$$a_e u_e^* = \sum a_{nb} u_{nb}^* + b + (p_P^* - p_E^*) A_e \ ,$$ (6.10)

$$a_n v_n^* = \sum a_{nb} v_{nb}^* + b + (p_P^* - p_N^*) A_n \ ,$$ (6.11)

$$a_t w_t^* = \sum a_{nb} w_{nb}^* + b + (p_P^* - p_T^*) A_t \ .$$ (6.12)