Man betrachte das Kontrollvolumen im Abbildung 28.
Wir nehmen an, daß der gesamte Fluß, z.B. über der
Kontrollvolumen-Wand, z.B. , konstant ist.
Ein Detail: Selbst im eindimensionalem Fall ergab sich
nur, wenn die Kontinuitätsgleichung
erfüllt war. Damit kann die Grundregel 4 (Summe der
Nachbarkoeffizienten) nur erfüllt werden, wenn wir die
Kontinuitätsgleichung in die Ableitung einbeziehen.
Die zweidimensionale Form von Gleichung (5.2) kann
geschrieben werden als
mit als den gesamten (Konvektion + Diffusion) Flüssen:
wobei und die Geschwindigkeitskomponenten in -Richtung und
-Richtung sind.
Integration von (5.38) über das Kontrollvolumen ergibt:
wobei der Quellterm wie üblich linearisiert wurde und für den instationären Term und als konstant über das Kontrollvolumen angenommen wurden. Die ´´alten´´ Werte (Beginn des Zeitschritts) sind und . Genau wie bei der voll impliziten Praxis sind die anderen Größen ohne Index die ´´neuen´´. sind die über die Kontrollvolumen-Wände integrierten Gesamtflüsse, d.h. steht für usw. In ähnlicher Weise integrieren wir die Kontinuitätsgleichung (5.1) über das Kontrollvolumen:
wobei die Massenflüsse durch die Kontrollvolumenwände sind. Wir nehmen an, daß am Punkt konstant über die ganze Wand ist:
und analog
Multiplikation von Gleichung (5.41) mit und Abziehen von (5.40) ergibt:
Die Annahme der Konstanz der Flüsse auf den Kontrollvolumen-Wänden ermöglicht die Anwendung der eindimensionalen Praxis für zweidimensionale Fälle. So lassen sich Terme wie und ausdrücken:
wobei
und und ihre Gegenstücke und enthalten die Flächen
der Wände und . Mit ähnlichen Ausdrücken für
und
können wir die endgültige
Diskretisierungsgleichung schreiben. (Die Grundregel über die Summe der
Nachbarkoeffizienten ist erfüllt, auch wenn das Strömungsfeld nicht die
Kontinuitätsgleichung erfüllt.)
Die zweidimensionale Diskretisierungsgleichung ist dann
wobei
und sind bekannte Werte zur Zeit , alle anderen Größen ( usw.) sind die Unbekannten zur Zeit . Die Flüsse sind in (5.43) definiert. Die entsprechenden Leitfähigkeiten sind
und die Peclet-Zahlen sind
Die Funktion kann für das gewünschte Schema der Tabelle in Kapitel 5.1.7 entnommen werden. Das empfohlene Power-Law-Schema ist