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Diskretisierungsgleichung für zwei Dimensionen

Man betrachte das Kontrollvolumen im Abbildung 28.

Abbildung 28: Diskretisierung in zwei Dimensionen
\includegraphics*[width=11cm, angle=0]{Abb/fvm5_6.eps}

Wir nehmen an, daß der gesamte Fluß, z.B. $ J_e$ über der Kontrollvolumen-Wand, z.B. $ e$, konstant ist.
Ein Detail: Selbst im eindimensionalem Fall ergab sich $ a_P = a_E + a_W$ nur, wenn die Kontinuitätsgleichung erfüllt war. Damit kann die Grundregel 4 (Summe der Nachbarkoeffizienten) nur erfüllt werden, wenn wir die Kontinuitätsgleichung in die Ableitung einbeziehen.
Die zweidimensionale Form von Gleichung (5.2) kann geschrieben werden als

$\displaystyle {\partial \over \partial t} (\varrho \phi) + {\partial J_x \over \partial x} + {\partial J_y \over \partial y} = S$ (5.38)

mit $ J_x,\ J_y$ als den gesamten (Konvektion + Diffusion) Flüssen:


$\displaystyle J_x$   $\displaystyle = \varrho u \phi - \Gamma {\partial \phi \over \partial x} \ ,$  
$\displaystyle J_y$   $\displaystyle = \varrho v \phi - \Gamma {\partial \phi \over \partial y} \ ,$ (5.39)

wobei $ u$ und $ v$ die Geschwindigkeitskomponenten in $ x$-Richtung und $ y$-Richtung sind.
Integration von (5.38) über das Kontrollvolumen ergibt:

$\displaystyle {(\varrho_P \phi_P - \varrho^0_P \phi^0_P) \Delta x \Delta y \over \Delta t} + J_e - J_w + J_n - J_s = (S_C + S_P \phi_P) \Delta x \Delta y \ ,$ (5.40)

wobei der Quellterm wie üblich linearisiert wurde und für den instationären Term $ \varrho_P$ und $ \phi _P$ als konstant über das Kontrollvolumen angenommen wurden. Die ´´alten´´ Werte (Beginn des Zeitschritts) sind $ \varrho_P^0$ und $ \phi_P^0$. Genau wie bei der voll impliziten Praxis sind die anderen Größen ohne Index die ´´neuen´´. $ J_e,\ J_w,\ J_n,\ J_s$ sind die über die Kontrollvolumen-Wände integrierten Gesamtflüsse, d.h. $ J_e$ steht für $ \int\limits_e J_x dy$ usw. In ähnlicher Weise integrieren wir die Kontinuitätsgleichung (5.1) über das Kontrollvolumen:

$\displaystyle {(\varrho_P - \varrho^0_P) \Delta x \Delta y \over \Delta t} + F_e - F_w + F_n - F_s = 0 \ ,$ (5.41)

wobei $ F_e,\ F_w,\ F_n,\ F_s$ die Massenflüsse durch die Kontrollvolumenwände sind. Wir nehmen an, daß $ \varrho u$ am Punkt $ e$ konstant über die ganze Wand $ e$ ist:

$\displaystyle F_e = (\varrho u)_e \Delta y$

und analog


$\displaystyle F_w$   $\displaystyle = (\varrho u)_w \Delta y \ ,$  
$\displaystyle F_n$   $\displaystyle = (\varrho v)_n \Delta x \ ,$ (5.42)
$\displaystyle F_s$   $\displaystyle = (\varrho v)_s \Delta x \ .$  

Multiplikation von Gleichung (5.41) mit $ \phi _P$ und Abziehen von (5.40) ergibt:


  $\displaystyle \ $ $\displaystyle (\phi_P - \phi_P^0)\frac{\varrho_P^0 \Delta x \Delta y}{\Delta t}...
..._e - F_e \phi_P) - (J_w - F_w \phi_P)
+ (J_n - F_n \phi_P) - (J_s - F_s \phi_P)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (S_C + S_P \phi_P) \Delta x \Delta y \ .$ (5.43)

Die Annahme der Konstanz der Flüsse auf den Kontrollvolumen-Wänden ermöglicht die Anwendung der eindimensionalen Praxis für zweidimensionale Fälle. So lassen sich Terme wie $ (J_e - F_e \phi_P)$ und $ (J_w - F_w \phi_P)$ ausdrücken:


$\displaystyle J_e - F_e \phi_P$   $\displaystyle = a_E (\phi_P - \phi_E) \ ,$  
$\displaystyle J_w - F_w \phi_P$   $\displaystyle = a_W (\phi_W - \phi_P) \ ,$ (5.44)

wobei


$\displaystyle a_E$   $\displaystyle = D_e A (\vert P_e \vert ) + [\![ - F_e, 0 ]\!] \ ,$  
$\displaystyle a_W$   $\displaystyle = D_w A (\vert P_w \vert ) + [\![ + F_w, 0 ]\!] .$ (5.45)

$ D_e$ und $ D_w$ und ihre Gegenstücke $ F_e$ und $ F_w$ enthalten die Flächen $ \Delta y \cdot 1$ der Wände $ e$ und $ w$. Mit ähnlichen Ausdrücken für $ (J_n - F_n \phi_P)$ und $ (J_s - F_s \phi_P)$ können wir die endgültige Diskretisierungsgleichung schreiben. (Die Grundregel über die Summe der Nachbarkoeffizienten ist erfüllt, auch wenn das Strömungsfeld nicht die Kontinuitätsgleichung erfüllt.)

Die zweidimensionale Diskretisierungsgleichung ist dann

$\displaystyle a_P \phi_P = a_E \phi_E + a_W \phi_W + a_N \phi_N + a_S \phi_S + b \ ,$ (5.46)

wobei


$\displaystyle a_E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle D_e A (\vert P_e \vert ) + [\![ - F_e, 0 ]\!]$  
$\displaystyle a_W$ $\displaystyle =$ $\displaystyle D_w A (\vert P_w \vert ) + [\![ + F_w, 0 ]\!]$  
$\displaystyle a_N$ $\displaystyle =$ $\displaystyle D_n A (\vert P_n \vert ) + [\![ - F_n, 0 ]\!]$  
$\displaystyle a_S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle D_s A (\vert P_s \vert ) + [\![ + F_s, 0 ]\!]$ (5.47)
$\displaystyle a_P^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\varrho_P^0 \Delta x \Delta y \over \Delta t}$  
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_C \Delta x \Delta y + a_P^0 \phi_P^0$  
$\displaystyle a_P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_E + a_W + a_N + a_S + a_P^0 - S_P \Delta x \Delta y\
.$  

$ \phi_P^0$ und $ \varrho_P^0$ sind bekannte Werte zur Zeit $ t$, alle anderen Größen ( $ \phi_P,\ \phi_E,\ \phi_W$ usw.) sind die Unbekannten zur Zeit $ t+\Delta t$. Die Flüsse $ F_e,\ F_w,\ F_n,\ F_s$ sind in (5.43) definiert. Die entsprechenden Leitfähigkeiten sind


$\displaystyle D_e = \frac{\Gamma_e \Delta y}{(\delta x)_e} \ $ $\displaystyle ;$ $\displaystyle D_w = \frac{\Gamma_w \Delta y}{(\delta x)_w} \ ;$  
$\displaystyle D_n = \frac{\Gamma_n \Delta x}{(\delta y)_n} \ $ $\displaystyle ;$ $\displaystyle D_s = \frac{\Gamma_s \Delta x}{(\delta y)_s} \ $ (5.48)

und die Peclet-Zahlen sind

$\displaystyle P_e = {F_e \over D_e}\ ; \quad P_w = {F_w \over D_w}\ ; \quad P_n = {F_n \over D_n}\ ; \quad P_s = {F_s \over D_s}\ .$ (5.49)

Die Funktion $ A( \vert P \vert )$ kann für das gewünschte Schema der Tabelle in Kapitel 5.1.7 entnommen werden. Das empfohlene Power-Law-Schema ist

$\displaystyle A (\vert P \vert ) = [\![ 0, (1-0.1 \vert P \vert )^5 ]\!]\ .$ (5.50)


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Ulf Bunge 2003-10-10