Methode der gewichteten Residuen

Da wir den exakten Lösungsverlauf nicht kennen, sondern diesen über Polynomansätze annähern müssen, verbleibt bei der Auswertung der Differentialgleichung mit Hilfe der so berechneten Lösung an irgend einem Zwischenpunkt $(\tilde{x}, \tilde{y})$ meist ein Rest (Residuum):

$$\left[ \partial x(\rho u) + \partial y(\rho v) \right]_{\tilde{x}, \tilde{y}} = R(\tilde{x}, \tilde{y}) \ .$$ (3.4)

Im Falle der Approximation ist die Lösung der Integro-Differentialgleichung auch nicht mehr unbedingt äquivalent zur Lösung der Differentialgleichung ($DGL$). (Dies wäre erst der Fall, wenn die allgemeine Integralgleichung für beliebige Partitionen und Gewichtsfunktionen ''$G$'' erfüllt ist.)

Man unterscheidet die allgemeine Formulierung (3.3) nach der Wahl der Gewichtsfunktionen: