Wärmeleitung, Temperatureinfluß

  
Abbildung 13: Verschiebungen durch Erwärmung

Die bisherige Lösung der Wärmeleitungsgleichungen ist nur in der stationären Form realisiert, Gl.67. Es kann eine Strukturreferenztemperatur angegeben werden, die sich auf den unverformten Zustand bezieht. Temperaturänderungen gegenüber dieser Temperatur bewirken somit immer Temperaturverzerrungen, siehe Gl.54. Implementiert und erfolgreich getestet sind bisher Temperatur- und Wärmerandbedingungen, einige Ergebnisse sollen dies dokumentieren.
In Abb. 13, links, ist der einfachste Fall zu erkennen. Die Randbedingungen für Spannungen und Verschiebungen entsprechen denen in Abb. 7, hinzugekommen sind Temperatur-, beziehungsweise Wärmerandbedingungen. Entsprechend der Symmetrie ist am oberen und linken Rand die Symmetriebedingung hinzugekommen, daß kein Wärmefluß vorhanden ist. Mit dem Fourierschen Wärmeleitungsgesetz wird dort ein Nullgradient für die Temperatur erzwungen. An den anderen beiden Rändern ist eine Temperatur gesetzt, die höher als die Strukturreferenztemperatur ist. Die Lösung für die Temperatur entspricht dann genau dieser am Rand vorgegebenen Temperatur, die grafische Darstellung erübrigt sich. Die Scheibe muß sich aufgrund dieser Erwärmung ausgedehnt haben, was in Abb.13 dargestellt ist. Aufgrund der Gestalterhaltung ist eine Darstellung der Verformung sinnlos. Es sind ebenso andere Fälle mit unterschiedlichen Ausdehnungskoeffizienten in unterschiedlichen Richtungen oder gar Schubverformungen durch Temperatureinfluß gerechnet worden.
Als weiterer Testfall sei noch das Ergebnis aus Abb.13, rechts, erwähnt. In diesem Fall ist lediglich die Verschiebung in Längsrichtung an den Rändern rechts und links behindert. Dies bewirkt daß in Längsrichtung eine Spannung entsteht, während sich die Verschiebungen nach oben und unten frei ausbreiten können.
Mit einer Erwrmung um 100 Kelvin gegenüber der Strukturreferenztemperatur und einem Ausdehnungskoeffizient von $0.01$ ergibt sich Dehnungen $\epsilon$_xx=-1 und $\epsilon$_yy=0.3 durch Temperatur, Gl.54. Als Spannung herrscht dann der eingegebene E-Modul ohne Querkontrationsbehinderung! Dies konnte bestätigt werden. Man hat damit die Möglichkeit zu überprüfen, ob man die reduzierten Steifigkeiten (Gl.62) korrekt berechnet und eingegeben hat.