Elementare Belastungszustände, Isotropie

  
Abbildung 7: Prinzipskizze einer Scheibe unter einachsigem Zug

Auf demselben Gitter wie im vorhergegangenem Abschnitt erfolgte die Berechnung elementarer Belastungszustände, die durch die Vorgabe von konstanten Randspannungen und entsprechende Randbedingungen erzeugt worden sind. In Abb.7 ist eine Prinzipskizze für reine Zugbelastung zu sehen.
Es ist prinzipiell egal, an welchen Rändern hier welche Randbedingungen vorgegeben werden, was auch auf Grund der sehr geringen Rechenzeiten für ein so ``kleines'' Problem schnell nachweisbar war, und es zeigte erneut die Korrektheit der Behandlung der Symmetrierandbedingungen, die sich als nicht trivial erwies.

  
Abbildung 11: Ergebnis in Verschiebungen

  
Abbildung 9: Isolinien der Verschiebung in x- und y-Richtung

In Abb.8 ist das Ergebnis in den Verschiebungen zu erkennen, an dem man die Einhaltung der Randbedingungen erkennen kann. Diese Kontrolle ist unbedingt notwendig. In den vorliegenden, linear-elastischen Rechnungen kann man an Hand der Isolinien der Verschiebungen bereits erkennen, daß die Lösung fehlerfrei ist, denn ein konstanter Spannungszustand muß sich einstellen. Das entspricht kostanten Verzerrungen und somit linearen Verschiebungsgradienten. Dies ist in Abb.9 verdeutlicht. Ebenso kann man überprüfen, daß die Spannungen konstant sind. Eine Darstellung erübrigt sich, weil die konstanten Verzerrungen dies über das Materialgesetz so bewirken, denn wie in Kapitel 3 bei den Anmerkung zur Implementierung erwähnt, werden die Spannungen direkt aus den Verzerrungen berechnet.
Es ist genausogut möglich, die Einhaltung der Querkontraktionszahl zu überprüfen. Z.B. sind in diesem Fall folgende Parameter für isotropes Material gewählt: $E=7.2$ und $\nu =0.3$. Bei einer vorgegebenen Spannung $\sigma$₀=10 ergibt sich dann eine konstante Verzerrung $\epsilon$_xx=1.389, sowie $\epsilon$_yy=-0.417=-νε_xx. Dabei bleibt $\epsilon$_xy Null. Natürlich sind mit den

  
Abbildung 10: Prinzipskizze einer Scheibe unter Schubbelastung

Materialkonstanten aus Gl. 59 andere Querkontraktionszahlen und andere Materialtypen

  
Abbildung: Ergebnis in Verschiebungen

modellierbar.
Neben dem Testen der reinen Zugspannugen in y-Richtung und der Kombination beider Zugspannungen, das genauso die analytischen Ergebnisse wiedergegeben hat, ist für die Scheibe die Schubspannung $\sigma$_xy in der Scheibenebene eine wichtige Größe, deren korrekte Widergabe ebenfalls geprüft worden ist. Dies soll dargestellt werden, wozu in Abb.10 eine Prinzipskizze gezeigt wird.
Das Ergebnis in Form des Verschiebungsvektorfeldes ist in Abb.11 dargestellt. Die Korrektheit der Lösung ist hier ebenso zu erkennen, wie im vorherigen Fall. Die Schubspannung ist konstant, alle anderen Spannungen sind Null, es stellt sich die typische Schubverformung ein.
Neben den Darstellungen der Verschiebungsfelder in Form von Vektoren ist eine Darstellung der Verformung der Körperkontur im Programm implementiert, die die Information viel besser verdeutlicht. Dies ist in der Abb.12 zu sehen.

  
Abbildung 12: Verformung der Scheibe bei Zug- (links) und Schubbelastung (rechts)

In solchen Darstellungen werden kleine Ungenauigkeiten generell besser erkannt. Dies wird bei den Ausführungen zu den hängenden Knoten deutlich werden.
Damit ist gezeigt, daß die elemantaren Fälle konstanter Spannungen ebenfalls korrekt widergegeben werden. Es wird nochmal darauf hingewiesen, daß sämtliche Erbgebnisse aus linear-elastischen Rechnungen kommen. Die Darstellung der resultierenden Verschiebungen kann dementsprechend beliebig überzeichnet werden, das Ergebnis bleibt trotzdem korrekt. Wären die Verformungen tatsächlich im Verhältnis so groß wie dargestellt, so könnten rein linear-elastische Rechnungen bei den meisten Materialien nicht mehr zu korrekten Ergebnissen führen.