Kompressible Form der Druckkorrekturgleichung

Betrachtet man die integrierte Kontinuitätsgleichung, so hat man, neben dem instationären, Terme wie den Fluß $(\varrho Au)_e$. Führt man analog zu den Größen Geschwindigkeit und Druck eine Dichtekorrektur $\varrho'$ ein, die zusammen mit der geschätzen Dichte $\varrho^*$ die korrekte Dichte $\varrho$ ergibt:

$$\varrho = \varrho^* + \varrho'$$ (6.35)

so erhält man für den obigen Fluß

$$(\varrho Au)_e = [(\varrho^* + \varrho' ) A (u^* + u')]_e$$ (6.36)

$$(\varrho Au)_e = (\varrho^* A u^*)_e + (\varrho^* A u')_e + (\varrho' A u^*)_e + (\varrho' A u')_e \,.$$ (6.37)

Vernachlässigt man den letzten Summanden als von 2. Ordnung klein, so ergibt sich unter Einsetzen der Geschwindigkeitskorrektur $u'_e$ und der Zustandsgleichung $P = \varrho {\cal R} T \to \varrho'= K \cdot p'$:

$$(\varrho A u)_e = (\varrho^* Au^*)_e + \varrho^*_e A_e d_e (p'_P - p'_E) + K A_e u^*_e p'_e \, .$$ (6.38)

Im letzten Term wird $p'_e$ durch $p'_E$ und $p'_P$ ausgedrückt, wobei man eine Upwind-Formulierung verwendet:

$$p'_e = \begin{cases}p'_P & \text{f\uml {u}r $u_e > 0$} \\ p'_E & \text{f\uml {u}r $u_e < 0$}. \end{cases}$$ (6.39)

Diese verhindert, daß der durch die Kompressibilität neu hinzugekommene Term in (6.38), der von seiner Natur her ein Konvektionsterm ist, negativ wird. Die zu (6.25) analogen Koeffizienten enthalten damit einen kombinierten Konvektions-/Diffusionseinfluß, und die kompressible Druckkorrekturgleichung besitzt den für kompressible Strömungen zu erwartenden einseitig gerichteten Charakter. Die genaue Form der ´´kompressiblen´´ Koeffizienten sei dem Interessierten als Übungsaufgabe gestellt.