Die Druckkorrekturgleichung

Aus der Kontinuitätsgleichung leiten wir eine Gleichung für die Druckkorrektur ab. Wir nehmen an, daß die Dichte nicht direkt vom Druck abhängt (Diskussion später). Für einen dreidimensionalen Fall ist die Kontinuitätsgleichung

$${\partial \varrho \over \partial t} + {\partial (\varrho u) \over... ...(\varrho v) \over \partial y} + {\partial (\varrho w) \over \partial z} = 0 \ .$$ (6.22)

Integration über das Kontrollvolumen im Abbildung 47 (entspricht dem Haupt-Kontrollvolumen für allgemeine Variable $\phi$).

Abbildung 47: Haupt-Kontrollvolumen

Für die Integration von ${\partial \varrho \over \partial t}$ sei die Dichte konstant im Kontrollvolumen. Geschwindigkeiten wie $u_e$ an einer Kontrollvolumen-Wand beschreiben den Massenfluß für die gesamte Wand. Voll implizite Zeitdiskretisierung führt schließlich auf die integrierte Form von (6.22)

$${(\varrho_P - \varrho_P^0) \Delta x \Delta y \Delta z \over \Delt... ...] \Delta z \Delta x + [(\varrho w)_t - (\varrho w)_b] \Delta x \Delta y = 0 \ .$$ (6.23)

Ersetzen der Geschwindigkeiten durch die Geschwindigkeitskorrekturformel (6.19) - (6.21) ergibt die Diskretisierungsgleichung für $p'$

$$a_P p'_P = a_E p'_E + a_W p'_W + a_N p'_N + a_S p'_S + a_T p'_T + a_B p'_B + b$$ (6.24)

mit

$$a_E = \varrho_e d_e \Delta y \Delta z ; \qquad a_W = \varrho_w d_w \Delta y \Delta z$$

$$a_N = \varrho_n d_n \Delta z \Delta x ; \qquad a_S = \varrho_s d_s \Delta z \Delta x$$

$$a_T = \varrho_t d_t \Delta x \Delta y ; \qquad a_B = \varrho_b d_b \Delta x \Delta y$$ (6.25)

$$a_P = a_E + a_W + a_N + a_S + a_T + a_B$$

$$b = {(\varrho_P - \varrho_P^0) \Delta x \Delta y \Delta z \over \Delta t} + [(\varrho u^*)_w - (\varrho u^*)_e] \Delta y \Delta z + [(\varrho v^*)_s - (\varrho v^*)_n] \Delta z \Delta x$$

$$+ [(\varrho w^*)_b - (\varrho w^*)_t] \Delta x \Delta y \ .$$ (6.26)

Die Dichte liegt normalerweise nur an den Gitterpunkten vor, so daß die Wand-Dichten wie $\varrho_e$ geeignet interpoliert werden müssen. Dabei muß der Wert von $\varrho_e$ konsistent für die beiden Kontrollvolumen berechnet werden, zu denen die Wand gehört (Grundregel 1).
Aus (6.25) ist ersichtlich, daß der Term $b$ in der Druckkorrekturgleichung im wesentlichen die linke Seite der diskretisierten Kontinuitätsgleichung (6.23) darstellt, ausgewertet für die gesternten Geschwindigkeiten. $b = 0$ bedeutet, daß die gesternten Geschwindigkeiten die Kontinuitätsgleichung erfüllen und keine Druckkorrektur notwendig ist. Der Term $b$ stellt daher eine ´´Massenquelle´´ dar, die die Druckkorrekturen (vermittels ihrer abgeleiteten Geschwindigkeitskorrekturen) auslöschen müssen.

Mit der Formulierung aller notwendigen Gleichungen für die Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten und des Drucks können wir das Gesamtverfahren darstellen.