Die Druckgleichung

Eine Gleichung für das Druckfeld erhalten wir wie folgt. Die Impulsgleichung (6.8) wird geschrieben als

$$u_e = {\sum a_{nb} u_{nb} + b \over a_e} + d_e (p_P - p_E)$$ (6.28)

mit $d_e$ nach (6.18). Wir definieren eine Pseudo-Geschwindigkeit $\hat u_e$:

$$\hat u_e = {\sum a_{nb} u_{nb} + b \over a_e}\ .$$ (6.29)

$\hat u_e$ setzt sich aus den Nachbargeschwindigkeiten $u_{nb}$ zusammen und enthält keinen Druck. Gleichung (6.28) wird jetzt

$$u_e = \hat u_e + d_e (p_P - p_E)$$ (6.30)

und analog

$$v_n = \hat v_n + d_n (p_P - p_N)$$ (6.31)

$$w_t = \hat w_t + d_t (p_P - p_T)$$ (6.32)

Die Analogie zwischen diesen Gleichungen und den Gleichungen (6.19 - 6.21) ist leicht zu sehen. Statt $u^*,\ v^*,\ w^*$ haben wir hier $\hat u,\ \hat v,\ \hat w$ und der Druck $p$ selbst tritt an die Stelle von $p'$. Aus der Herleitung in Kapitel 6.6 folgt dann bei Verwendung dieser neuen Geschwindigkeits-Druck-Beziehung eine Gleichung für den Druck:

$$a_P p_P = a_E p_E + a_W p_W + a_N p_N + a_S p_S + a_T p_T + a_B p_B + b$$ (6.33)

mit $a_E,\ a_W$ usw. nach (6.25); die Konstante $b$ ist gegeben durch:

$$b = {(\varrho^0_P - \varrho_P) \Delta x \Delta y \Delta z \over \Delta t} + [(\varrho \hat u)_w - (\varrho \hat u)_e] \Delta y \Delta z$$ (6.34)

$$+ [(\varrho \hat v)_s - (\varrho \hat v)_n] \Delta z \Delta x + [(\varrho \hat w)_b - (\varrho \hat w)_t] \Delta x \Delta y \, .$$

Dieser Ausdruck für $b$ ist der einzige Unterschied zwischen der Druckgleichung (6.33) und der Druckkorrekturgleichung (6.24). Der Ausdruck (6.34) für $b$ verwendet die Pseudogeschwindigkeiten $\hat u,\ \hat v,\ \hat w$, während $b$ für die $p'$-Gleichung mit den gesternten Geschwindigkeiten berechnet wurde. Obwohl die Druckgleichung und die Druckkorrekturgleichung fast identisch sind, besteht ein wesentlicher Unterschied: In der Herleitung der Druckgleichung wurden keine Näherungen gemacht. Verwendet man ein korrektes Geschwindigkeitsfeld zur Berechnung der Pseudo-Geschwindigkeiten, dann ergibt die Druckgleichung sofort den korrekten Druck.