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Verfahren höherer Ordnung (HOC)

Bei den bisher beschriebenen Standardverfahren basiert die Konvektionsbehandlung auf der Interpolation der Variable $ \phi $ von den beiden direkten Nachbarpunkten auf die Kontrollvolumengrenze $ f$. Um zu einer Notation in Abhängigkeit von der Strömungsrichtung zu gelangen, werden die Nachbarzellen mit folgende Indizes bezeichnet: Die stromauf liegende Zelle mit $ U$ (upstream), die zentrale Zelle mit $ C$ (central) und die stromab liegende mit $ D$ (downstream).

\begin{figure}\begin{center}
\begin{picture}(120,20)
\put(30,-5){ \epsfxsize =75mm \epsffile{Abb/zellen.eps}}
\end{picture} \end{center} \end{figure}

In dieser Notation ergibt sich bei allen Standardverfahren der Variablenwert auf der Zellgrenzfläche $ f$ für beliebige Anströmrichtungen, d.h. unabhängig von $ F_e$ bzw. $ F_w$ zu:

$\displaystyle \phi_f= f(\phi_C,\phi_D)$ (5.54)

Eine im Vergleich zu den bisher beschriebenen Verfahren bessere Genauigkeit läßt sich mit Approximationsverfahren höherer Ordnung, sog. HOC-Verfahren (High Order Convection), erzielen, die sich nicht nur auf die direkten Nachbarpunkte des gesuchten Kontrollvolumenrandes stützen sondern noch weitere Punkte verwenden. Die Vorteile der höheren Approximationsordnung machen sich vor allem bei sehr großen Peclet-Zahlen bemerkbar, wo die durch den Approximationsfehler induzierte numerische Diffusion größer werden kann als die physikalische Diffusion.

Im Prinzip basieren solche Verfahren auf dem Schema

$\displaystyle \hspace{2em} \phi_f=\phi_{f,Upwind} +
\phi_{f,Diffusionskorrektur} .$     (5.55)

Dadurch, daß die Implementierung im Kern auf dem UDS-Schema beruht und der Korrekturanteil im Quellterm berücksichtigt wird, kann die hohe Stabilität dieses Verfahrens auch bei den Verfahren höherer Ordnung weitgehend erhalten werden. Die Bearbeitung unterschiedlicher Schemata ist durch die Aufteilung in Upwindanteil und Diffusions-Korrekturanteil sehr einfach.



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Ulf Bunge 2003-10-10