Die Grundgleichung (5.4) kann analytisch gelöst werden, wenn
( ist bereits konstant wegen
(5.5)). In einem Gebiet
mit den Randbedingungen
ist die Lösung von (5.4):
mit der Peclet-Zahl
ist das Verhältnis der Stärken von Konvektion und Diffusion.
Die Natur der exakten Lösung wird klar anhand der graphischen
Darstellung (Abbildung 24).
Die Konsequenzen für ein angemessenes -Profil
zwischen den Gitterpunkten, die sich aus der Betrachtung der exakten
Lösung des Konvektions-Diffusions-Problems in Abbildung 24
ergeben, sind:
Die Annahmen aus der vorherigen Ableitung für UDS versagen, da das -Profil in der Regel sowohl weit enfernt ist von einem linearen Verlauf (mit Ausnahme kleiner Werte von ), als auch weit entfernt ist von einem konstanten Wert (mit Ausnahme großer Werte von ). Für große ist ungefähr gleich dem -Wert stromauf. Dies ist zwar genau die Annahme des Upwind-Schemas für den konvektiven Term, das UDS verwendet jedoch diesen konstanten Verlauf für alle Werte von , also nicht nur für große, so dass für kleine die Konvektion überbewertet wird. Für große ist , d.h. es gibt fast keine Diffusion, trotzdem berechnet das UDS den Diffusionsterm stets vom linearen -Profil ausgehend (siehe Gleichung 5.15) und überbewertet folglich die Diffusion für große -Werte. Man sagt daher im Allgemeinen, dass sich das UDS zu diffusiv verhält.
Eine Diskretisierungsgleichung, abgeleitet aus der exakten Lösung, hätte keine dieser Schwächen.
Das zugehörige Schema heißt
Das Exponential-Schema (ES).
Betrachte den totalen Fluß , der aus dem Konvektionsfluß und dem Diffusionsfluß besteht:
Damit wird Gleichung (5.4) zu
und ergibt über das Kontrollvolumen integriert
Verwendung der exakten Lösung (5.17) als Profil
zwischen den Punkten und (Ersetzen von und
durch und sowie durch
) führt auf
einen Ausdruck für
wobei
mit und nach Gleichung (5.9).
ist unabhängig vom Ort der Zwischenstelle
(Kontrollvolumen-Wand). Einsetzen von (5.22) und einem
ähnlichen Ausdruck für in (5.21) führt auf
In der Standardform
hat man die Koeffizienten des Exponentialschemas
Für stationäre, eindimensionale Probleme ergibt dieses Schema die
exakte
Lösung für alle Peclet-Zahlen und beliebige Gitterpunkt-Zahlen.
Trotz dieser starken Vorzüge findet es nur wenig Verwendung:
Benötigt wird ein leicht rechenbares Schema mit gleichen
qualitativen Eigenschaften wie das Exponentialschema.