Das Upwind-Schema (UDS)

Eine bekannte Umgehungsmöglichkeit ist das Upwind-Schema (aufstromgewichtete Differenzen, upwind differences, upstream differences, donor-cell method), bekannt seit 1952.

Der Schwachpunkt der vorläufigen Formulierung war die Annahme, daß die konvektiv transportierte Größe $\phi_e$ an der Kontrollvolumen-Wand das Mittel aus $\phi_E$ und $\phi _P$ ist. Das Upwind-Schema macht eine bessere Vorschrift: Der Diffusionsterm bleibt unverändert, der Konvektionsterm wird berechnet mit der Annahme: der Wert von $\phi$ an einer Zwischenstelle ist gleich dem Wert von $\phi$ am Gitterpunkt auf der Seite stromauf der Zwischenstelle.

Also

$$F_e > 0 \ : \ \phi_e = \phi_P$$ (5.12)

$$F_e < 0 \ : \ \phi_e = \phi_E$$

$\phi_w$ wird analog definiert.

Mit Verwendung des FORTRAN-Operators kann man kompakt schreiben

$$F_e \phi_e = \phi_P [\![F_e, 0]\!]\ - \phi_E [\![-F_e, 0]\!] \ .$$ (5.13)

Damit wird die Diskretisierungsgleichung zu

$$a_P \phi_P = a_E \phi_E + a_W \phi_W$$ (5.14)

mit

$$a_E = D_e + [\![-F_e,0]\!]\ ;\ a_W = D_w + [\![F_w,0]\!] \ ;$$

$$a_P = D_e + [\![F_e,0]\!] + D_w + [\![-F_w,0]\!]$$ (5.15)

$$= a_E + a_W + (F_e - F_w)\ .$$

Offensichtlich ergibt (5.15) keine negativen Koeffizienten. $\rightarrow$ Die Lösung ist stets physikalisch realistisch. Das Scarborough-Kriterium ist erfüllt.