Das Zentral-Differenzen-Schema (CDS)

Integration von Gleichung (5.4) über das Kontrollvolumen ergibt

$$(\varrho u \phi)_e - (\varrho u \phi)_w = \left( \Gamma {d \phi \over d x} \right)_e - \left( \Gamma {d \phi \over d x} \right)_w \ .$$ (5.6)

Im letzten Kapitel wurde die Darstellung des Terms $\Gamma {\partial \phi \over \partial x}$ über ein stückweise lineares Profil für $\phi$ eingeführt. Das gleiche Vorgehen für den Konvektionsterm ist zunächst naheliegend. Man erhält

$$\phi_e = {1 \over 2} (\phi_E + \phi_P) \qquad und \qquad \phi_w = {1 \over 2} (\phi_P + \phi_w) \ .$$ (5.7)

Damit ergibt sich aus Gleichung (5.6):

$$\frac12 (\varrho u)_e (\phi_E + \phi_P) -\frac12 (\varrho u)_w (\... ...a x)_e} (\phi_E - \phi_P) - {\Gamma_w \over (\delta x)_w} (\phi_P - \phi_W) \ ,$$ (5.8)

wobei die Werte von $\Gamma_e$ und $\Gamma_w$ gemäß Kapitel 4.2 berechnet werden.

Wir definieren

$$F = \varrho u \qquad {\rm und} \qquad D = {\Gamma \over (\delta x)} \ .$$ (5.9)

Beachte: $D$ ist stets positiv, $F$ kann positiv oder negativ sein, abhängig von der Strömungsrichtung.

Mit (5.9) erhalten wir eine kompaktere Formulierung

$$\smallskip a_P \phi_P = a_E \phi_E + a_W \phi_W$$ (5.10)

mit

$$a_E = D_e - {F_e \over 2} \ ; \qquad a_W = D_w + {F_w \over 2} \ ;$$ (5.11)

$$a_P = D_e + {F_e \over 2} + D_w - {F_w \over 2} =a_E+a_W+(F_e - F_w) \ .$$

Aus Kontinuitätsgründen ($F_e = F_w$, und vierte Grundregel) gilt $a_P = a_E + a_W$. Die Diskretisierungsgleichung (5.10) beinhaltet ein stückweise lineares Profil für $\phi$. Dieses ist auch bekannt als Zentral-Differenzen-Schema (CDS).