Für jeden inneren Punkt haben wir eine Diskretisierungsgleichung für die Temperatur an diesem Punkt aus der Gleichung für das entsprechende Kontrollvolumen (siehe Abbildung 15).
Wenn Randtemperaturen gegeben sind, werden keine zusätzlichen Gleichungen benötigt.
Typische Randbedingungen sind:
Für 2. und 3. muß eine zusätzliche Gleichung konstruiert
werden (Beispiel linker Rand, Abbildung 16):
Integration der Differentialgleichung über das ''halbe''
Kontrollvolumen am Rand ergibt die
Halb-Kontrollvolumen-Gleichung:
(Beachte: . Der Wärmefluß kann geschrieben werden als
(4.16) |
womit sich ergibt:
(4.17) |
Das weitere Vorgehen hängt davon ab, wie der Randwärmefluß
gegeben ist. Falls
gegeben ist,
ergibt sich die Diskretisierungsgleichung zu:
mit
Falls
der
Randtemperatur gegeben ist:
wie z.B. bei konvektivem Wärmeübergang:
, dann erhalten wir für (4.18)
die Koeffizienten
Für den linearen Wärmefluß fordern wir genau wie für den
linearisierten Quellterm, daß ist, damit einen
positiven Beitrag zum (Diagonalenelement-) Koeffizienten liefert.
Falls
von ist, linearisieren wir nach den gleichen Regeln wie
für den Quellterm (Taylorreihen-Entwicklung):
womit wir für (4.20) erhalten:
Beispiel: Konvektiver und Strahlungs-Wärmeübergang:
(4.24) |
ergibt
(4.25) |