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Randbedingungen

Für jeden inneren Punkt haben wir eine Diskretisierungsgleichung für die Temperatur an diesem Punkt aus der Gleichung für das entsprechende Kontrollvolumen (siehe Abbildung 15).

Abbildung 15: Innere Kontrollvolumen
\includegraphics*[width=11cm, angle=0]{Abb/bild4-6.eps}

Wenn Randtemperaturen gegeben sind, werden keine zusätzlichen Gleichungen benötigt.

Typische Randbedingungen sind:

1.
Randtemperatur $ T_B$ gegeben.
2.
Randwärmefluß $ q_B$ gegeben.
3.
Randwärmefluß als eine (lineare) Funktion von $ T_B$ gegeben.


Für 2. und 3. muß eine zusätzliche Gleichung konstruiert werden (Beispiel linker Rand, Abbildung 16):

Abbildung 16: Linker Rand
\includegraphics*[width=9cm, angle=0]{Abb/fvm4_7.eps}

Integration der Differentialgleichung über das ''halbe'' Kontrollvolumen am Rand ergibt die
Halb-Kontrollvolumen-Gleichung:

$\displaystyle q_B - q_i + (S_C + S_P T_B) \Delta x = 0\ .$ (4.15)

(Beachte: $ q=-k {dT \over dx})$. Der Wärmefluß $ q_i$ kann geschrieben werden als

$\displaystyle q_i = k_i {T_B - T_I \over (\delta x)_i}\ ,$ (4.16)


womit sich ergibt:

$\displaystyle \smallskip q_B - {k_i \over (\delta x)_i} (T_B - T_I) + (S_C + S_P T_B) \Delta x = 0\ .$ (4.17)


Das weitere Vorgehen hängt davon ab, wie der Randwärmefluß $ q_B$ gegeben ist. Falls $ \underline{q_B \ \mbox{selbst}}$ gegeben ist, ergibt sich die Diskretisierungsgleichung zu:

$\displaystyle a_B T_B = a_I T_I + b\ ,$ (4.18)


mit

$\displaystyle a_I = {k_i \over (\delta x)_i} \ $ $\displaystyle ;$ $\displaystyle b = S_C \Delta x + q_B \ ;$  
      (4.19)
$\displaystyle a_B = a_I - S_P \Delta x \ $ $\displaystyle .$    


Falls $ \underline{q_B \ \mbox{als lineare Funktion}}$ der Randtemperatur $ T_B$ gegeben ist:

$\displaystyle q_B = f_C + f_P T_B \ ,$ (4.20)


wie z.B. bei konvektivem Wärmeübergang: $ q_B = h(T_{\infty} - T_B)$, dann erhalten wir für (4.18) die Koeffizienten

$\displaystyle a_I = {k_i \over (\delta x)_i} \ $ $\displaystyle ;$ $\displaystyle b = S_C \Delta x + f_C$  
      (4.21)
$\displaystyle a_B = a_I - S_P \Delta x - f_P \ $ $\displaystyle .$    


Für den linearen Wärmefluß fordern wir genau wie für den linearisierten Quellterm, daß $ f_P \le 0$ ist, damit $ f_P$ einen positiven Beitrag zum (Diagonalenelement-) Koeffizienten $ a_B$ liefert.


Falls $ \underline{q_B \ \mbox{eine nichtlineare Funktion}}$ von $ T_B$ ist, linearisieren wir $ q_B$ nach den gleichen Regeln wie für den Quellterm (Taylorreihen-Entwicklung):

$\displaystyle q_B = q_B^* + \left( {dq_B \over dT_B} \right)^* (T_B - T_B^*) \ ;$ (4.22)


womit wir für (4.20) erhalten:

$\displaystyle f_C = q_B^* - \left( {dq_B \over dT_B} \right)^* T_B^* \ ,$      
      (4.23)
$\displaystyle f_P = \left( {dq_B \over dT_B} \right)^* \ .$      


Beispiel: Konvektiver und Strahlungs-Wärmeübergang:

$\displaystyle q_B = 5 (T_{\infty} - T_B) + 2(T_{\infty}^4 - T_B^4)$ (4.24)

ergibt

$\displaystyle f_C = 5 T_{\infty} + 2T_{\infty}^4 + 6 T_B^{*4} , \qquad f_P = -(5 + 8 T_B^{*3})$ (4.25)



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Ulf Bunge 2003-10-10