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Quellterm-Linearisierung

Wenn $ S$ von $ T$ abhängt, schreiben wir den Quellterm

$\displaystyle \overline{S} = S_C + S_P T_P\ ,$ (4.14)

denn erstens erlaubt unser nominell lineares Rahmenwerk nur formal lineare Abhängigkeit, und zweitens ist die Berücksichtigung linearer Abhängigkeit besser als die Annahme $ S = const$. Falls $ S$ eine nichtlineare Funktion von $ T$ ist, müssen wir linearisieren, d.h. $ S_C$ und $ S_P$ angeben, die ihrerseits wieder von $ T$ abhängen können: $ \rightarrow$ dies erfordert iterative Neuberechnung. Die Linearisierung sollte die $ S-T$-Beziehung gut repräsentieren. Außerdem muß die Grundregel über nichtpositives $ S_P$ beachtet werden (Regel 3). Prinzipiell sind viele Arten der Aufspaltung von $ \bar S$ in $ S_C$ und $ S_P$ denkbar.


Beispiele:


1. $ S = 400$
dann $ \quad S_C = 400, \qquad S_P = 0$
2. $ S = 3-5 T$
dann $ \quad S_C = 3, \qquad S_P = -5$
3. $ S = 7 + 9T$
dann $ \quad S_C = 7 + 9T_p^*, \qquad S_P = 0$
nicht empfehlenswert: $ S_C = 7,\ S_P = 9$
$ T_P^*$ ist der Startwert oder der Wert aus der vorangegangenen Iteration.
4. $ S = 3-6T^5$
verschiedene Möglichkeiten:
4.1
$ S_C = 3 - 6 T_P^{*5}, \qquad S_P = 0$
''lazy-person approach'' für komplizierte Quellterme.
4.2
$ S_C = 3, \qquad S_P = - 6 T_P^{*4}$
nicht falsch, aber nicht die beste Darstellung von $ S$
4.3
Empfehlung: Ausdrücken von $ \overline{S} = S_C + S_P$
durch die Tangente (Taylorreihen-Entwicklung):
$ \overline{S}$
$ = \overline{S}^* + \left( {d \overline{S} \over dT}
\right)^* (T_P - T_P^*)$ ;
hier: $ S = 3-6T^5$ :
$ \overline{S}$
$ = 3 - 6 T_p^{*5} - 30 T_P^{*4} (T_P-T_P^*) $
$ = 3 + 24 T_P^{*5} + (-30 T_P^{*4})T_P $
$ S_C$
$ = 3 + 24 T_P^{*5}, S_P = -30 T_P^{*4}$
4.4
Auch möglich:
$ S_C$
$ = 3 + 27 T_P^{*5}, S_P = - 33 T_P^{*4}$

$ \rightarrow$
alle Möglichkeiten sind prinzipiell zulässig, da alle bei Konvergenz denselben Quellterm darstellen. Sie beeinflussen aber das Konvergenzverhalten (Abbildung 14).

Abbildung 14: Quelltermlinearisierung und Konvergenzverhalten
\includegraphics*[width=8cm, angle=0]{Abb/fvm4_5.eps}

4.3 ergibt optimale Konvergenz; 4.1, 4.2 können divergieren; 4.4 konvergiert sehr langsam.


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Ulf Bunge 2003-10-10