Quellterm-Linearisierung

Wenn $S$ von $T$ abhängt, schreiben wir den Quellterm

$$\overline{S} = S_C + S_P T_P\ ,$$ (4.14)

denn erstens erlaubt unser nominell lineares Rahmenwerk nur formal lineare Abhängigkeit, und zweitens ist die Berücksichtigung linearer Abhängigkeit besser als die Annahme $S = const$. Falls $S$ eine nichtlineare Funktion von $T$ ist, müssen wir linearisieren, d.h. $S_C$ und $S_P$ angeben, die ihrerseits wieder von $T$ abhängen können: $\rightarrow$ dies erfordert iterative Neuberechnung. Die Linearisierung sollte die $S-T$-Beziehung gut repräsentieren. Außerdem muß die Grundregel über nichtpositives $S_P$ beachtet werden (Regel 3). Prinzipiell sind viele Arten der Aufspaltung von $\bar S$ in $S_C$ und $S_P$ denkbar.

Beispiele:

1. $S = 400$

dann $\quad S_C = 400, \qquad S_P = 0$

2. $S = 3-5 T$

dann $\quad S_C = 3, \qquad S_P = -5$

3. $S = 7 + 9T$

dann $\quad S_C = 7 + 9T_p^*, \qquad S_P = 0$

nicht empfehlenswert: $S_C = 7,\ S_P = 9$
$T_P^*$ ist der Startwert oder der Wert aus der vorangegangenen Iteration.

4. $S = 3-6T^5$

verschiedene Möglichkeiten:

4.1

$S_C = 3 - 6 T_P^{*5}, \qquad S_P = 0$
''lazy-person approach'' für komplizierte Quellterme.

4.2

$S_C = 3, \qquad S_P = - 6 T_P^{*4}$
nicht falsch, aber nicht die beste Darstellung von $S$

4.3

Empfehlung: Ausdrücken von $\overline{S} = S_C + S_P$
durch die Tangente (Taylorreihen-Entwicklung):

$\overline{S}$

$= \overline{S}^* + \left( {d \overline{S} \over dT} \right)^* (T_P - T_P^*)$ ;

hier: $S = 3-6T^5$ :

$\overline{S}$

$= 3 - 6 T_p^{*5} - 30 T_P^{*4} (T_P-T_P^*)$

$= 3 + 24 T_P^{*5} + (-30 T_P^{*4})T_P$

$S_C$

$= 3 + 24 T_P^{*5}, S_P = -30 T_P^{*4}$

4.4

Auch möglich:

$S_C$

$= 3 + 27 T_P^{*5}, S_P = - 33 T_P^{*4}$

$\rightarrow$

alle Möglichkeiten sind prinzipiell zulässig, da alle bei Konvergenz denselben Quellterm darstellen. Sie beeinflussen aber das Konvergenzverhalten (Abbildung 14).

Abbildung 14: Quelltermlinearisierung und Konvergenzverhalten

4.3 ergibt optimale Konvergenz; 4.1, 4.2 können divergieren; 4.4 konvergiert sehr langsam.