Betrachten wir ein allgemeines, krummliniges Koordinatensystem mit den Koordinatenlinien , das sich an den lokalen Gitterlinien ausrichtet. Im Zusammenhang mit der numerischen Behandlung der Bilanzgleichungen sind nun eine Reihe von Transformationen notwendig. Zum Verständnis der Transformationsbeziehungen soll zuerst auf die Eigenschaften des Koordinatensystems eingegangen werden.
Der Basisvektor
Der Transformationszusammenhang zwischen und wird durch mehrere unterschiedliche Metrikterme beschrieben. Von Bedeutung ist vor allem die Transformationsmatrix (Jakobi-Matrix) und die Funktionaldeterminante der Transformation des kartesischen Koordinatensystems in das lokale System des Rechengitters. bildet dabei die Matrix der kovarianten Metrikkoeffizienten:
mit | (7.4) |
oder im zweidimensionalen Fall:
det det | (7.5) |
Im folgenden soll die Herleitung wegen der besseren Übersichtlichkeit
komplett auf zweidimensionale Fälle beschränkt bleiben.
Mit (7.3) und Inversion ergeben sich die erforderlichen
Transformationsbeziehungen für die Metrikterme:
(7.6) | |||
Die Geometrie wird im Allgemeinen in Form der Koordinaten und der Kontrollvolumenzentren und der Gitterknotenpunkte bzw. Kontrollvolumenecken gespeichert (siehe Abbildung 53).
Üblicherweise wird der frei wählbare Skalierungsfaktor des natürlichen Koordinatensystems so gewählt, daß die Längen über ein Kontrollvolumen gerade ''1'' ergeben. Die Metrikterme können dann am ''east'' Rand über
berechnet werden.
Ausgehend von einer beliebigen, zweidimensionalen Transportgleichung (5.38) soll nun die Diskretisierung in einem allgemeinen, krummlinigen Koordinatensystem abgeleitet werden. Die Integration der Differentialgleichung
(7.8) |
über ein Kontrollvolumen bzw. die Kontrollvolumenoberflächen führt dann im krummlinigen System auf
(7.9) |
Dabei sind die Komponenten des normierten Flächennormalenvektors einer Kontrollvolumenoberfläche und die Größe dieser Fläche. Wie aus Abbildung 53 zu entnehmen ist, ergibt sich der hierbei auftauchende Ausdruck bzw. die analog an den übrigen Kontrollvolumenseiten auftretenden Terme zu: